【赢在课堂】2016高考数学 4.1.1数的概念的扩展课件 北师大版选修1-2

第四章数系的扩充与复数的引入§1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展学习目标思维脉络1.了解数系的扩充过程;2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数形式及复数的分类.一二一、复数的定义与表示方法1.定义(1)规定i2=-1,其中i叫作虚数单位.(2)若a∈R,b∈R,则形如a+bi的数叫作复数.2.表示方法复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中复数z的实部是a,虚部是b.3.复数集复数的全体组成的集合叫作复数集,记作C,显然R⫋C.一二名师点拨1.对虚数单位i的性质的理解(1)i2=-1.(2)因为i20与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.2.在复数z=a+bi中,只有在a∈R,b∈R的情况下,a是复数z的实部,b是复数z的虚部.一二练一练1复数z=-i+3的实部是,虚部是.答案:3-1练一练2复数z=cosπ3+i2的实部是,虚部是.解析:z=cosπ3+i2=12-1=-12=-12+0×i,故实部是-12,虚部是0.答案:-120一二二、复数的分类复数a+bi实数(𝑏=0)虚数(𝑏≠0)纯虚数(𝑎=0)非纯虚数(𝑎≠0)一二名师点拨复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示:一二练一练3设m∈R,复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)若z为实数,则m=;(2)若z为纯虚数,则m=.解析:(1)由m2-3m+2=0,得m=1或m=2,即m=1或m=2时,z是实数.(2)由2𝑚2-3𝑚-2=0,𝑚2-3𝑚+2≠0,得m=-12,即m=-12时,z是纯虚数.答案:(1)1或2(2)-12探究一探究二探究三探究一复数的概念1.复数的实部、虚部均为实数.2.在判定一个复数是实数、虚数、纯虚数或确定复数的实部、虚部时,一要注意数的形式,二要注意条件a,b∈R不能漏.探究一探究二探究三典例提升1写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.4,2-3i,0,-12+43i,5+2i,6i.解:4,2-3i,0,-12+43i,5+2i,6i的实部分别是4,2,0,-12,5,0;虚部分别是0,-3,0,43,2,6.4,0是实数;2-3i,-12+43i,5+2i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.探究一探究二探究三变式训练1判断下列命题的真假:(1)ai是纯虚数;(2)3+2i的虚部是2i;(3)“a=0”是“a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的一个必要不充分条件.解:(1)当a=0时,ai=0不是纯虚数,故(1)是假命题;(2)3+2i的虚部是2,故(2)是假命题;(3)当a=0时,a+bi不一定是纯虚数;反之,若a+bi是纯虚数,一定有a=0且b≠0,故(3)是真命题.探究一探究二探究三探究二复数的分类及应用由复数的类型求解参数取值范围的思路探究一探究二探究三典例提升2已知m∈R,复数z=𝑚(𝑚+2)𝑚-1+(m2+2m-3)i,当m为何值时,(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?思路分析:分清复数的分类,根据实部与虚部的取值情况进行判断.解:(1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且𝑚(𝑚+2)𝑚-1有意义即m-1≠0,解得m=-3.(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且𝑚(𝑚+2)𝑚-1有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)要使z是纯虚数,m需满足𝑚(𝑚+2)𝑚-1=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.探究一探究二探究三规律总结利用复数的分类求参数的值体现了“化虚为实”的转化思想,其一般步骤为:(1)判断复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式;(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题,注意保持转化的等价性;(3)解相应的不等式(组)或方程(组);(4)明确结论.探究一探究二探究三变式训练2若x(y2-3y)+yi(x,y∈R)是纯虚数,则()A.y≠0且x=0或y=3B.x=0或y=3或y=0C.x=0且y≠0D.x+y=3解析:由题意有𝑦≠0,𝑥(𝑦2-3𝑦)=0,解得y≠0且x=0或y=3.答案:A探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:忽略隐含条件致错探究一探究二探究三典例提升3若复数z=𝑚-3𝑚+2+𝑚2-𝑚i(m∈R)是虚数,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0]∪[1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(-2,0]∪[1,+∞)D.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞)错解:∵z为虚数,∴m2-m0,∴m0或m1.答案:B错因分析:本题在求解时忽略了𝑚-3𝑚+2要有意义,因而求解错误.正解:∵z为虚数,∴𝑚2-𝑚0,𝑚+2≠0,解得𝑚0或𝑚1,𝑚≠-2,即m∈(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).答案:D123451.3i-2的虚部是()A.-2B.3C.2D.3i答案:B123452.以2i-5的虚部为实部,以5i+2i2的实部为虚部的新复数是()A.2-2iB.2iC.-5+5iD.5+5i解析:2i-5的虚部为2,5i+2i2的实部为2i2=-2,故新复数为2-2i,故选A.答案:A123453.若复数z=(x+1)+itanx为实数,则实数x的值为.解析:由题意可知tanx=0,故x=kπ(k∈Z).答案:kπ(k∈Z)123454.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),若z是纯虚数,则m=.解析:∵z为纯虚数,∴log2(𝑚2-3𝑚-3)=0,log2(3-𝑚)≠0,∴𝑚=4或𝑚=-1,𝑚3且𝑚≠2,∴m=-1.答案:-1123455.实数k为何值时,复数z=(k2-7k-8)+(k2-5k-6)i分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?解:(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,复数z为实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,复数z为虚数.(3)由题意,得𝑘2-7𝑘-8=0,𝑘2-5𝑘-6≠0,①②由①,得k=8或k=-1.由②,得k≠6且k≠-1,因此当k=8时,z为纯虚数.