【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题13 立体几何综合练习

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练一考点强化练第一部分13立体几何综合练习(文)考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析考查几何体的面积与体积计算，空间平行与垂直的综合应用；转化与化归思想、空间想象能力和推理论证能力.考题引路考例(2015·重庆文，20)如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝π2，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.(1)证明：AB⊥平面PFE；(2)若四棱锥P－DFBC的体积为7，求线段BC的长．[立意与点拨]考查：1.空间线面垂直关系；2.锥体的体积；3.推理论证能力和空间想象能力、方程思想和运算求解能力．解答本题(1)利用线面垂直的判定定理进行证明；(2)利用体积公式建立关于BC的方程求解．[解析](1)如图．由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.因∠ABC＝π2，EF∥BC.故AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PFE.(2)设BC＝x，则在Rt△ABC中，AB＝AC2－BC2＝36－x2.从而S△ABC＝12AB×BC＝12x36－x2.由EF∥BC，知AFAB＝AEAC＝23，得△AFE∽△ABC，故S△AFES△ABC＝232＝49，即S△AFE＝49S△ABC.由AD＝12AE，S△AFD＝12S△AFE＝12·49S△ABC＝29S△ABC＝19x36－x2，从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC＝S△ABC－S△ADF＝12x36－x2－19x36－x2＝718x36－x2.由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P－DFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝PC2－EC2＝42－22＝23，体积VP－DFBC＝13·S四边形DFBC·PE＝13·718x36－x2·23＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x0，可得x＝3或x＝33.所以BC＝3或BC＝33.易错防范案例不会合理转化致误已知四面体ABCD中，AB＝AC，BD＝CD，平面ABC⊥平面BCD，E，F分别为棱BC和AD的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求证：AD⊥BC；(3)若△ABC内的点G满足FG∥满足BCD，设点G构成集合T，试描述点集T的位置(不必说明理由)．[易错分析]本题常见错误是：(1)不能将线面垂直、面面垂直与线线垂直相互转化，或证明过程中语言表述不规范致误；(2)不会通过面面平行寻找线面平行，将所求直线转化为两个平面的交线．[解答](1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC.又∵平面ABC⊥平面BCD，AE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AE⊥平面BCD.(2)证明：∵BD＝CD，E为BC的中点，∴BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，∴BC⊥平面AED.又AD⊂平面AED，∴AD⊥BC.(3)取AB，AC的中点M，N，所有的点G构成的集合T即为△ABC的中位线MN.[警示](1)解答立体几何证明题时，要紧扣判定定理和性质定理，找准找足条件，对线线平行与垂直，线面平行与垂直，面面平行与垂直要能够依据定理，结合条件合理转化．(2)过点F与平面BCD平行的直线都在过点F与平面BCD平行的平面内．