2013年高考数学(理科)一轮复习课件第51讲：抛物线

考纲要求考纲研读1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想.1.能利用定义法或待定系数法求抛物线的方程．2．利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离进行转化．3．综合应用抛物线和直线的有关知识，通过直线与抛物线的位置关系解答相应问题.1．抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线l(定点不在直线l上)的距离_______的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的_______，定直线为抛物线的_______相等焦点准线2．抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py图形焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝11．抛物线y＝4x2的准线方程是()D2．(2011年深圳高级中学第二次考试)抛物线y＝x2的焦点坐标为()DA．x＝－1B．y＝－1C．x＝－116D．y＝－116A.14，0B.12，0C.0，12D.0，143．经过点(－3,2)的抛物线标准方程为___________________；对应的准线方程为__________________.y2＝－43x(或x2＝92y)x＝13或y＝－984．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标____.5．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值____.54考点1抛物线的标准方程例1：①已知抛物线焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点距离为5，则抛物线标准方程为()BA．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：已知抛物线焦点在x轴上，其上有一点为P(－3，m)，显然开口向左，设y2＝－2px，由点P(－3，m)到焦点距离为5知，点P(－3，m)到准线距离也为5，即3＋p2＝5，p＝4，标准方程为y2＝－8x.②焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线标准方程为_____________________．对应的准线方程为________________．解析：令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x.焦点为(0，－2)时p2＝2，∴p＝4，此时抛物线方程x2＝－8y.∴所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4或y＝2.x＝－4(或y＝2)y2＝16x(或x2＝－8y)第(1)利用抛物线的定义直接得出p的值可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解．【互动探究】1．(2011年广东)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()AA．抛物线C．椭圆B．双曲线D．圆解析：依题意得，C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线．考点2抛物线的几何性质例2：如图12－3－1，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．解题思路：由抛物线的定义知，点P到准线的距离等于点P到焦点的距离．又因为点P在抛物线内部，所以当PA垂直准线时，交点P即为所求点．图12－3－1解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，注意灵活应用．【互动探究】2．(2011年山东)设M(x0，y0)为抛物线C∶x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()CA．(0,2)C．(2，＋∞)B．[0,2]D．[2，＋∞)解析：根据x2＝8y，所以F(0,2)，准线y＝－2.所以F到准线的距离为4.当以F为圆心、以|FM|为半径的圆与准线相切时，|MF|＝4，即M到准线的距离为4，此时y0＝2.所以显然当以F为圆心，以|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交时，y0∈(2，＋∞)．3．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()AA.14，－1B.14，1C．(1,2)D．(1，－2)考点3直线与抛物线的位置关系例3：(2011年安徽合肥检测)已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|、|MC|、|MB|成等比数列；(2)设MA＝αAC，MB＝βBC，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解析：(1)设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)，联立方程可得y＝kx＋2，y2＝4x，得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C－2k，0，则x1＋x2＝－4k－4k2，x1·x2＝4k2.②|MA|·|MB|＝1＋k2|x1－0|·1＋k2|x2－0|＝41＋k2k2，而|MC|2＝－2k－02＋(0－2)2＝41＋k2k2.∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0.即|MA|、|MC|、|MB|成等比数列．(2)由MA＝αAC，MB＝βBC得，(x1，y1－2)＝α－x1－2k，－y1，(x2，y2－2)＝β－x2－2k，－y2，即得：α＝－kx1kx1＋2，β＝－kx2kx2＋2.则α＋β＝－2k2x1x2－2kx1＋x2k2x1x2＋2kx1＋x2＋4.把(1)中②代入得α＋β＝－1.故α＋β为定值且定值为－1.本题主要考查直线与抛物线的位置关系，涉及的点很多，涉及的字母也很多(k，x1，y1，x2，y2，α，β)，但必须将直线的方程和点的坐标设出来，这是解题的前提．注意设而不求的思想及韦达定理的应用．【互动探究】4．(2011年全国)已知直线l过抛物线C的焦点，且l与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()CA．18B．24C．36D．48解析：设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则焦点Fp2，0，Ap2，p，Bp2，－p.所以|AB|＝2p＝12，所以p＝6.又点P到AB边的距离为p＝6，所以S△ABP＝12×12×6＝36.思想与方法17．利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题例题：AB为过抛物线焦点的动弦，P为AB的中点，A，B，P在准线L的射影分别是A1，B1，P1：以下结论中：①FA1⊥FB1；②AP1⊥BP1；③BP1⊥FB1；④AP1⊥FA1.正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①如图12－3－2(1)，AA1＝AF，∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥F1F，∠AA1F＝∠A1FF1，则∠AFA1＝∠A1FF1，同理∠BFB1＝∠B1FF1，则∠A1FB1＝90°，故FA1⊥FB1；②如图12－3－2(2)，PP1＝AA1＋BB12＝AF＋BF2＝AB2，即△AP1B为直角三角形，故AP1⊥BP1；③如图12－3－2(3)，BB1＝BF，即△BB1F为等腰三角形，PP1＝PB，∠PP1B＝∠PBP1，又BB1∥P1P，∠PP1B＝∠B1BP1，则∠PBP1＝∠B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1⊥FB1；④如图12－3－2(4)，同③有AP1⊥FA1.综上所述，①②③④都正确，故选D.图12－3－2答案：D1．对于抛物线的标准方程有四种形式，重点把握好两点：(1)“p”是焦点到准线的距离，恒为正数；(2)要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．2．抛物线的焦半径、焦点弦②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径．其长度为2p；①y2＝2px(p≠0)的焦半径|PF|＝x＋p2；x2＝2py(p≠0)的焦半径|PF|＝y＋P2；1．对抛物线的标准方程要准确把握，注意和二次函数的形式求抛物线的方程时，要注意对称轴和抛物线开口方向，防止设错抛物线的标准方程．2．直线与抛物线只有一个交点并不表明直线与抛物线相切，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，但该种关系显然不是相切．因此通过方程判断直线与抛物线的位置关系时，要注意这种特殊情形．③AB为抛物线y2＝2px的焦点弦，则xAxB＝p24，yAyB＝－p2，|AB|＝xA＋xB＋p.区分开，例如抛物线y＝2x2化成标准方程为x2＝12y.用待定系数法