常用模拟低通滤波器的设计

第八节常用模拟低通滤波器的设计一、为何要设计模拟低通滤波器•首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标后，设计“模拟低通原型”滤波器。•模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。•1、Butterworth巴特渥斯滤波器•2、Chebyshev切比雪夫滤波器•它们都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计，它们滤波器各有特点。典型模拟滤波器的特点1、Butterworth巴特渥斯滤波器它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫滤波器在通带或阻带等波纹，可提高选择性。3.Bessel贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位特性。4.Ellipse椭圆滤波器其选择性相对前三种是最好的。二、模拟滤波器设计思想•根据模拟滤波器设计要求，求出相应的模拟系统函数.•使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群时延特性)，在此我们采用幅度平方函数特性来设计。三、根据幅度平方函数确定系统函数1、求滤波器的幅度平方函数•设计模拟滤波器经常要借助其幅度平方函数其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。•假设p1,z1为Ha(s)的一个零点和一个极点，则-p1,-z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：)(2AjsaaaaasHsHjHjHjHA)()()()()()(*22)())(()())(()()()(222222122222221222NmjsaazzzpppksHsHA＊＊-z1-p1z1p1＊＊2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤•我们知道，实际滤波器都是稳定的，因此其极点一定位于S平面左半平面，这样可根据幅度平方函数通过如下步骤分配零、极点来设计出模拟滤波器的系统函数。•(1)由来确定象限对称的S平面函数。•(2)将因式分解，得到各零点和极点。•(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性的对比就可确定出增益常数。)()()(2sHsHAaa)()(sHsHaa)(A(1)由来确定象限对称的S平面函数。•将•代入中即得到s平面函数。)()()(2sHsHAaa22s)(2A(2)将因式分解，得到各零点和极点。•将左半平面的极点归于Ha(s)。•如无特殊要求，可取的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点。•如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为Ha(s)的零点。且轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s)。)()(sHsHaaj)()(sHsHaa(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性,确定出增益常数。•由的条件，代入可求得增益常数。)0()0(aaAH)(A例子•根据以下幅度平方函数确定系统函数Ha(s).)(2A)36)(49()25(16)(22222A2131004)6)(7()25(4)(4,36492516)0()0(4225)0()0(,)6)(7()25()()((5;6,7(5;6,7)36)(49()25(16)()(22222222222222sssssssHKAHKKAHsssKsHKsHjsssjssssssAsHsHsaaaaasaa最后：益常数的条件，低通，可得增由，则得设增益常数为的零点。一对虚轴零点）为取取左半平面极点：皆为二阶）零点：其极点：）（代入：解：用四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器1、幅度平方函数•Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上Ωc的圆上，并且与虚轴对称。•其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为•其中N为整数，表示滤波器的阶次，Ωc定义为截止频率，为振幅响应衰减到-3dB处的频率。NcajjjHA222)(11)()(2、Butterworth滤波器的极点分布由可知Butterworth的零点全部在S=∞处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为Ωc的圆上,呈象限对称分布。为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点,设计出巴特沃斯低通滤波器.NcajH2)(11)(NkejsjssHsHNkjccNkNcaa2,2,1,)()1(0,)(11)()(]21221[212，得令分母即：3、Butterworth的幅度响应及极点分布其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数极点不会落在S平面上的虚轴上4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。5、3dB带宽衰减即相当于或）（时，当dBdBjHjHAcacac3,3)(log20707.021)(2126、Butterworth滤波器的特点（总结）(1)当Ω=0时，即Ω=0处无衰减。(2)当Ω=Ωc时，707.021)(,21)(2cacajHjH1)0(2jHa在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有幅频特性曲线都经过-3dB点，或说衰减3dB,这就是3dB不变性。dBjHca3)(lg201或通带最大衰减2)(cajH(3)在ΩΩc的通带内：前(2N-1)阶导数为零，因而Butterworth又称最平幅度特性滤波器。随着Ω由0变到Ωc，|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，减小越慢，也就是通带内特性越平坦。20)(cajH有最大平坦的幅度特性，即N阶Butterworth低通滤波器在Ω=0处：(4)在ΩΩc，即在过渡带及阻带中，|Ha(jΩ)|2也随Ω增加而单调减小，但是Ω/Ωc1，故比通带内衰减的速度要快得多，N越大，衰减速度越大。当Ω=Ωs，即频率为阻带截止频率时，衰减为：)(lg202sajH(5)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而幅频特性更接近于理想的矩形频率特性。2为阻带最小衰减。7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数•在一般设计中，都先把Ωc设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查。•即若令NNNssaassasasasHsHc1122111)()(css8、Butterworth滤波器设计步骤(1)根据设计规定，确定Ωc和N。(2)由确定Ha(s)Ha(-s)的极点。(3)Sk的前N个值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)0部分的极点，构成Ha(s).(4)常数K0可由A(Ω)和Ha(s)的低频或高频特性对比确定。NkesNkjck2,2,1,]21221[NksssKsHakNkk,2,1,0]Re[,()(10其中）9、例子•导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根据幅度平方函数：322211)(ssssHa1,1)0()0(0122)(2321,1,23216,1,11)()(,11)()(0230321]2)21([622622KAHsKsssKsHjssjskesssHsHsjHAaakNjkaaa则可得时，代入。求常数取前三个根，，各极点满足：则有，令方法二方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得322211)(ssssHa10、Butterworth滤波器的阶数N设计公式则有：则有作为止带起始频率，选一个范围内若在NcssascjH22)(11)(,范围叫滤波器的止带从范围叫滤波器的过渡带从范围叫滤波器的通带从sscc0(1)已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF阶数NcssANNsjaHsAsAsscNcslg2)11010lg()(11lg102)(lg102求出从处的止带衰减和、若设计时给定（2）已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap求ButterworthDF阶数NcppANNpjaHpAdBppApscNcplg2)11010lg()(11lg102)(lg10,32，求出从此时，处的通带衰减和、若设计时给定（3）已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap和As求ButterworthDF阶数NspsApANpjaHpAApAspsPsPAANspANcsANcpNcpslg2])11010()11010(lg[,110110)(,110)(,110)()(11lg102)(lg10101021021022由此求出对除从，和衰减、若设计时给定例子1•试设计一个模拟低通Butterworth滤波器1221)(23ssssHa求阶数，，,16,3.072.0dBAsdBpAps8.2)176.0(2]110110lg[lg2])11010()11010(lg[6.17.0）（）（解：spsApAN•取N=3阶，根据N=3，查表得归一化系统函数：323233004.09971.04971.0004.0004.0)1587.0()1587.0(2)1587.0(2)1587.0()1587.0()()(sssssssHsHcssaa1587.0)110(2110NAppc去归一化例子2•设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π,止带频率ws=0.4π,在w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz）解：设计分为4步。（1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。因为：fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz•对于冲激不变法，频率变换是线性的。dBAsradsraddBdBjHaeHTTsscsjwssccs15,/108/104315)(lg20)(lg20108102014.0104102012.0333333且止带截止频率为带宽频率波器这样要设计模拟低通滤令带截止频率为：模拟滤波器的通带和止•(2)设计Ha(s)将上述设计指标代入求出N阶数1221)(153468.2)48lg(2110lg)lg(2110lg23101510)(lg20ssssHadBNNscsjHas数；查表，得归一化系统函更满足设计指标。还小处的衰减比此时，，取))()(()(,,3,2,1,0,)()(22)(323233221320]2)21([1032233jccjccjccjcjciNjciNiiNccccccessessHaesesesNiessssHassssHass其中极点将其进行因式分解求各代入得去归一化2323,,2323)()(21032213200jCCjsHaCesCsCesCsHacccssjccjc其中：由留数法求得：212112111331111533.0241