68拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案1第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1,x2,…，xn),Y=(y1,y2,…，yn)之间的距离d(x,y)=2211nn()+(xy)xy…。无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1.d(x,y)≥0,x,y∈nR;2.d(x,y)=0x=y;3.d(x,y)=d(y,x)x,y∈nR;4.d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),x,y,z∈nR;这些性质反映了距离的特征。将nR推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间1.定义定义1设X是一个集合，ρ：X×X→R,如果对于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0并且ρ(x,y)=0x=y；②（对称性）ρ(x,y)=ρ(y,x)；③（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X中的一个度量。吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案2如果ρ是集合X中的一个度量，则称偶对（X，ρ）是一个度量空间，或径称X是一个度量空间。而ρ（x,y）称为从点X到点Y的距离。2.度量空间举例例2.1.1实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R→R如下：x,y∈R，令ρ（x,y）=|x-y|,易知ρ是R的一个度量。因此（R,ρ）是一个度量空间。可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。例2.1.1n维欧式空间nR对实数集合R的n重笛卡尔积nR=R×R×…×R，定义ρ：nR×nR→R如下：对任意两点x=(x1,x2,…，xn),Y=(y1,y2,…，yn)∈nR，令ρ（x,y）=2iii1(xy)n，可以验证ρ是nR的一个度量，偶对（nR，ρ）称为n维欧氏空间。有时径称nR为n维欧氏空间。n=2时，2R常称为欧氏平面或平面。例2.1.2Hilbert空间H记H是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={x=(x1,x2,…，xn)|xi∈R,i∈Z+,21iix},定义ρ：H×H→R如下：对于任意x=(x1,x2,…，xn),Y=(y1,y2,…，yn)∈H，令ρ（x,y）=2iii1(xy)。这个定义的合理性及验证2iii1(xy)以及验证ρ是H的一个度量，可见P49附录。因此（H,ρ）是一个度量空间，称为Hilbert空间。例2.1.3离散的度量空间设（X,ρ）是一个度量空间，称（X,ρ）是一个离散的度量空间或称ρ是一吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案3个离散的度量，如果对每一个x∈X,存在一个实数0x使得ρ（x,y）x,对任何y∈X，y≠x成立。如，设X是一个集合，定义ρ：X×X→R,使得对于任何x,y∈X,有0(,)1xyxyxy若若,易知ρ是X的一个离散度量，度量空间（X,ρ）是离散的。思考题例2.1.5令X=C([a,b])={f:[a,b]→R|f在[a,b]上连续}，并且对于任意的f,g∈C([a,b]),令d(f,g)=ba|f(x)-g(x)|dx,d是C([a,b])的度量吗？（答案：d是C([a,b])的度量，因此（C([a,b])，d）是一个度量空间）3.邻域、开集⑴度量空间的球形邻域及其基本性质定义2.设（X,ρ）是一个度量空间，x∈X,对于任意的ε0，B（x,ε）={y∈X|ρ（x,y）ε}称为以x为中心，ε为半径的球形邻域，也称为x的一个ε邻域，也记作Bε(x)。定理1.0.1度量空间（X,ρ）的球形邻域具有以下性质：①每一点x∈X至少有一邻域，并且x属于它的每一个邻域；②对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；③如果y∈X属于x的某个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域。证明：……⑵度量空间的开集及其基本性质定义3.设X是一个度量空间，AX，如果,0aA都，使B(a,ε)X，则称A是X的一个开集。由定理2.1.1的③知，X的球形邻域都是开集。吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案4例2.1.7实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集。两个开区间的并也是开集。可见，度量空间的开集是实数空间开区间的推广。定理1.0.2度量空间X的开集具有以下性质：①集合X本身和空集Ф都是开集；②任何两个开集的交是开集；③任何一个开集族的并是开集。证……推论U是度量空间的开集的充分必要条件是U是这个空间中若干个球形邻域的并。⑶度量空间中点x的邻域---球形邻域的推广定义4.设X是一个度量空间，x∈X,UX，如果存在开集V使x∈VU，则称U是x的一个邻域。注：有定义可知，开集V是它的每一点的邻域，但邻域却不一定是开集。如[0，2]是1的邻域，但它不是开集。定理1.0.3设X是一个度量空间，x∈X,UX，则U是x的一个邻域存在B(x,ε)U。证明：……本定理为邻域提供了一个等价说法。推论X是一个度量空间，UX，则U是X的一个开集U是其内每一点的邻域。证由定义2.1.3和定理2.1.3。（二）度量空间之间的连续映射定义5设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，以及x0∈X，如果对于f(x0)的任何一个球形邻域B(f(x0),ε)，存在x0的某一个球形邻域B(x0，δ)使得f(B(x0，δ))B(f(x0),ε)，则称映射f在x0处是连续的。吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案5如果映射f在X的每一点连续，则称f是一个连续函数。显然这个定义是数学分析中连续函数定义纯粹形式上的推广。定理1.0.4设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，则①f在x0点处连续f(x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域；②f是连续的Y中每个开集的原像是X中的开集。证明：①“”若f在x0点处连续，设U为f(x0)的一个邻域，据TH2.1.3，有B(f(x0),ε)U，因为f在x0点处连续，所以存在B(x0，δ)使得f(B(x0，δ))B(f(x0),ε)，然而f-1[B(f(x0),ε)]f-1(U)，而B(x0，δ)f-1[B(f(x0),ε)]，所以B(x0，δ)f-1(U)，这说明f-1(U)是x0的一个邻域。“”设f(x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域，任给f(x0)的一个邻域B(f(x0),ε)，则f-1[B(f(x0),ε)]是x0的一个邻域，据TH2.1.3，x0有一个球形邻域B(x0，δ)f-1[B(f(x0),ε)]，因此f[B(x0，δ)]B(f(x0),ε)，所以f在x0点处连续。②“”设f连续，令V为Y中一开集，U=f-1(V),对于每一个x∈U，则f(x)∈V，由于V是开集，所以V是f(x)的一个邻域，由于f在每一点x连续，故由①知U是x的一个邻域，由上面的推论知，U是开集。“”设Y中每个开集的原像是X中的开集，下证f在任一点x∈X连续。设U是f(x)的一个邻域，即存在开集V使f(x)∈VU，从而x∈f-1(V)f-1(U),由条件f-1(V)是X中的开集，所以f-1(U)是x的一个邻域，于是①中必要条件成立。所以f在点x∈X连续。由于x的任意性，所以f是连续映射。吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案6二、拓扑空间、开集、闭集参照度量空间中开集的基本性质（TH1.1.2）建立拓扑空间定义1.1.1设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件：①X,Ф∈T；②若A,B∈T，则A∩B∈T；③若T1T，则1AATT。则称T是X的一个拓扑。若T是X的一个拓扑，则称偶对（X,T）是一个拓扑空间，或称集合X是相对于拓扑T而言的拓扑空间；或T不需指出时，径称集合X是一个拓扑空间。T中每一个元素叫做拓扑空间（X,T）或X中的一个开集；开集的补集称为闭集。说明：⑴条件②蕴含着：当n1时若A1，A2，……，An∈T,则A1∩A2∩……∩An∈T。（但对无限交不一定成立，见后面的例）⑵②、③两条常被称为关于有限交、无限并封闭；⑶当T1=Ф时，1AATT,这一点在①中已有规定，因此以后验证③成立只需对T1≠Φ验证即可；⑷有拓扑空间的定义和度量空间开集的基本性质知，度量空间都是拓扑空间。关于这一点还有下面的定义：定义1.1.2设（X,ρ）是度量空间。令Tρ是由X中的所有开集构成的集族，据TH1.0.2，Tρ是X的一个拓扑。我们称Tρ为X的由度量ρ诱导出来的拓扑。约定：说度量空间（X,ρ）的拓扑时，如果没有另外说明，就指Tρ，称其为拓扑空间时就指（X,Tρ）。吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案7因此，实数空间R，n维欧氏空间Rn(特别，欧氏平面R2),Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，其拓扑就是其各自的通常度量诱导出来的拓扑。在实数空间中，（11,aann）是开集，但11(,){}nZaaann不是开集。这说明无限个开集的交不一定是开集。定理1.1.1设X是一个拓扑空间，记F为所有闭集构成的集族。则：①X,Ф∈F；②如果A,B∈F，则A,B∪F；①如果Ф≠F1F，则1AAFF。证明①由于X,Ф∈T，所以Ф=X′，X=Ф′∈F。②当A,B∈F时，有A′,B′∈T，从而A′∩B′∈T，因此A∪B=A〞∪B〞=（A′∩B′）′∈F。③令T1={A|A′∈F1},于是T1T，因此1UUTT，从而1111''()()AAAUAAAUFFFTF。证毕。注：⑴②蕴含着，n1时，A1，A2，…，An是闭集，则A1∪A2∪…∪An也是闭集。即闭对有限并封闭；⑵③中要求F1≠Ф，因为F1=Ф时，1AAF无意义。例1.平庸空间设X是一个集合，令T={X,Φ}，容易验证T是X的一个拓扑，称为X的平庸拓扑，称（X，T）为平庸空间。在平庸空间中，有且只有两个开集：X,Φ；有且只有两个开集：X,Φ。例2.离散空间设X是一个集合，令T=P(X)，易知T是X的一个拓扑，称为X的离散拓扑，称（X，T）为离散空间。在离散空间中，每一个子集都是开集，每一个子集都是开集。离散空间可以记作（X，P(X)）。例3.设X={a,b,c},令T={Φ,{a},{a,b},X},可以验证T是X的一个吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案8拓扑，因此（X，T）为一个拓扑空间。它既不是平庸拓扑，又不是离散拓扑。说明：对X={a,b,c}，可以为其构造出29个拓扑，其中平庸拓扑最小，离散拓扑最大。可见对同一个集合，它可以有不同的拓扑。例4.有限补拓扑空间设X是一个集合，令T={UX|U'是X的一个有限子集}∪{Φ}。易验证T是X的一个拓扑，称其为X的有限补拓扑，（X，T）称为有限补拓扑空间。下面验证T满足拓扑定义中的③成立设T1T，若T1=Φ，则1AATT；若存在A0≠Ф,A0∈T1,则110)(AAAAATT是X的有限子集，所以1AATT。所以③成立。问题：当X是一个有限集合时，X的有限补拓扑空间又是已知的什么拓扑空间？例5.可数补拓扑空间设X是一个集合，令T={UX|U'是X的一个可数子集}∪{Φ}。易验证T是X的一个拓扑，称其为X的可数补拓扑，（X，T）称为可数补拓扑空间。（课下验证）问题：当X是一个可数集合时，X的可数补拓扑空间又叫做什么拓扑空间？（离散拓扑空间）。当X是有限时，与什么空间是同一个空