第4章 投资组合选择方法(3)

三.均值方差投资组合选择模型1.投资组合分散原理2.投资组合选择模型3.M-V有效投资组合的基本性质资产（或投资组合）收益率的平均值被用作为期望收益率资产(资产组合)的方差（标准差）被用来作为风险的度量马柯维茨的投资组合理论认为，采用分散组合投资，可以有效地分散和控制非系统风险。1.投资组合分散原理投资组合方差的分解22211111nnnnnTxijijiiijijijiijijxVxxxxxxniiix122投资组合的非系统风险，它是由各个资产自身的各种不确定因素产生的风险，如企业的决策管理,技术水平等,与其它的资产无关投资组合的系统风险，它是由整个市场的环境以及不同资产之间的相互影响产生的,与单个资产无关.njiinjijjixx11nxi1令jinjijniixnnnn11221111第二项系统风险为所有协方差的平均值，第一项非系统风险为所有方差的均值的1/n倍。当时有n011lim12niinnn当资产组合中包含的资产数目比较多时，组合的风险几乎完全由不同资产之间的协方差的均值来确定，而受单个资产方差的影响变动很小。或者说，当资产数目很多时，资产组合的风险主要取决于系统风险，非系统风险对组合的风险影响很小.通过分散投资可以化解投资的非系统风险，但系统风险不能通过分散化的策略化解.2.投资组合选择模型对已经选定的可供投资的风险资产,如何确定合适的投资策略,即对不同风险资产的投资比例.(1)风险最小,收益最大的投资组合(理想型,但现实中不存在);(2)根据个人对风险的厌恶程度和对收益的期望值,在风险和期望收益两者之间作适当的权衡,即根据个人对风险和期望收益的效用函数确定最优的投资组合方案.由此形成的模型称为投资组合选择模型.(1)在指定的收益水平下使风险最小的投资组合1..min2xexRtsVxxTTTx投资者的期望收益目标,由其效用函数确定,允许卖空(因无变量的非负约束),可行的投资组合:满足1xeT为可行的投资组合xrExx,投资可行集＝这是在风险—收益坐标平面内的一个集合给定期望收益率,求解上述模型得一个投资组合x,计算相应的风险值,它是的函数,记为则在风险---收益坐标平面内是一个点.令在一个适当的区间内连续变动,这个点在风险---收益坐标平面内形成一条曲线,称为投资可行集的封套。2()x2(,())x把投资可行集封套中相同风险水平下使期望收益最大的投资组合称为有效的投资组合(efficientportfolio)，所有有效投资组合对应的期望收益率和收益率的标准差构成的集合称为投资组合有效集，也称为投资组合有效边缘(efficientfrontier)。投资组合可行集、可行集封套、有效边缘的关系可行投资集有效边缘封套G()Er设协方差矩阵正定,则可以求得上述模型的最优解为RVeVx11*bcbaRVRceVRbeVeaTTT111,,20acb称为有效投资组合对有效投资组合计算其相应的风险*x22()(2)/abc在坐标平面内这是一个双曲线方程,该双曲线右支所包含的部分为投资可行集，双曲线的右支为可行集封套，双曲线的右上半支为投资组合的有效边缘（即投资组合有效集）。()双曲线右支的顶点G对应的投资组合称为全局最小方差投资组合,它是投资组合有效边缘的起点.eVaxG11abGaG123.M-V有效投资组合的基本性质要确定和计算投资组合有效边缘,首先要了解有效投资组合的基本性质.定义4.3:如果任意选取集合中的两个元素和任意实数，都有则称集合是凸集。Syx,1,0Syxz1S引理4.1风险资产构成的所有可行的投资集合是凸集。证明:验证投资可行集满足凸集的定义,设和是两个可行的投资组合,xy11niix11niiy考虑投资组合yxz11,0111111niiniiniiyxz也是一个可行的投资组合，从而证明了投资可行集是凸集。z超期望收益:设为一常数，称为资产关于常数的超期望收益，称ccrEiiccrEcrEcrECRn21为关于常数的超期望收益向量.c设是可行的投资组合，称xcRxCRxTT为投资组合关于常数的超期望收益.xc命题4.1设为一常数，如果是下述方程组的解czCRVz那么将标准化之后得到的向量一定位于投资可行集的封套上，反之亦然.zxTnxxxx,,,21/,iixzD1nTiiDezz可行投资集GC有效边缘()TxRCx()Er确定封套上的投资组合证明:过期望收益坐标轴上点做与投资可行集相切的切线，切点必然位于可行集封套上（见图).显然，这样得到的可行集封套上的投资组合必然使下述比值达到最大或者最小。cxxVxxCRxCRxTTXT根据最优性原理，上述函数的最优解必定满足下述方程组0VxxVxVxxCRxCRVxxTTTT化简上式可得0VxxVxVxxCRxCRTTT由上式可得0VxVxxCRxCRTTVxxCRxTTxzCRVzCRVz1因V正定令xz1Texizjzzzxjiizzx命题4.1指出了怎样确定一个可行集封套上的投资组合，即给定一个常数，解方程组cCRVz得之后再把标准化可得向量zzjzzx则是一封套投资组合。x下面的命题4.2提供了另一个计算可行集封套上投资组合的方法。命题4.2可行集封套上任意两个不同投资组合的凸组合也在可行集封套上。证明设是可行集封套上任意两个投资组合，要证明对任意投资组合,xy1,0yx1也是可行集封套上的投资组合.即存在一个常数,使得为的标准化后的向量,而是下述方程组的解czzVzRC存在常数,以及向量，满足,xycc,xyzzxjxzzxyjyzzyxxCRVzyyCRVz如果向量使得比值取最优值，那末标准化向量后所得向量，也使得该比值在所有标准化向量中取最优值。不失一般性，可假设和为标准化后的向量，即有z()/TzzRCzxzyz,xyxzyz对任意，投资组合是下述方程组的解(0,1)(1)xyzz[(1)]xyVzRCC这表明(1)(1)xyxyzzz使比值(((1)))()TTxyzzzRCCzRC在所有标准化向量中取最优值，这就完成了命题的证明。事实上,从上面的证明可以看出,命题4.2的结论对任意的值都成立.因此,如果已知了任意两个可行集封套上的投资组合，则可以确定出整个可行集的封套和投资组合的有效边缘。命题4.3设为一封套投资组合，则对于任意一个可行的投资组合，存在一个常数，使得yxccrEcrEyxxVyyVyxyxTTyxyyx22,cov而且，这里是一个满足的投资组合。zrEcz0),cov(zyyz命题4.3表明任意可行投资组合的期望收益率可以表示成xzyxzxrErErErE其中为一封套投资组合，为一个满足的投资组合。yz0zy证明由于为一封套投资组合，存在常数和向量满足yczCRVzjzzyzDjDz将代入的定义式得yx()//()TTxxTTyxRCErcxVzDyVzDyRCErccrEcrEyxx再证明第二部分，令为一可行投资组合，且满足z0),cov(zyyzcrEcrEyzz由于0zy0zzrEc证毕称为布莱克－零贝塔资本资产定价模型（zero-betacapitalassetpricingmodel)，称由此方程定义的直线为证券市场线，称为零贝塔投资组合。zyxzxrErErErEz经典的资本资产定价模型fMxfxrrErrE()fzrEr()MyErEr无风险收益率零贝塔投资组合的期望收益率市场期望收益率封套投资组合的期望收益率一个可行投资组合的期望收益率如果等于市场期望收益率，则称其为市场投资组合，记为M。如果市场投资组合还是一个有效的投资组合，那么它必然是一个封套投资组合，则根据零贝塔资本资产定价模型，有下式成立zMxzxrErErErEVMMVMxTTMxMx2资产组合相对于市场风险的度量,0zM命题4.4设存在一个可行投资组合，使得对于任意可行的投资组合有yxcrEcrEyxx2yxyx则为一封套投资组合。y证明思路:)(1CRVz/iyzz自行阅读理解命题4.5设证券市场除种风险资产外，还存在一种无风险资产，其投资收益率为，则存在一个封套投资组合,使得对任意可行的投资组合有nfrMxfMxfxrrErrEVMMVMxTTMxMx2可行投资集()MfErrfrMG()ErM证明对于n种风险资产，可以先确定这n种风险资产构成的投资组合的有效边缘（见图），其中G为全局最小方差投资组合。由于存在收益率为的无风险资产，不妨假定，过点作与有效边缘相切的切线，切点即为一个封套投资组合，不妨记为M,根据命题4.3可知该投资组合即为满足要求的封套投资组合，这就证明了命题的结论。frGfrrfr,0称命题4.5中确定的投资组合M为市场组合,称由方程fMxfxrrErrE定义的直线为资本市场线.确定市场组合的方法:先求解方程组fRRVz得解后再标准化izzM连接点与市场组合M的直线上的投资组合为无风险资产与市场组合的凸组合，其中任一凸组合的期望收益率和收益的标准差分别为fr,0pMfprErrE1MMrMrpff11212222如果一个投资者希望在给定的风险水平下确定期望收益最大的投资组合，显然这样的投资组合应该落在资本市场线上。因此当存在无风险资产时，资本市场线即为投资组合的有效边缘.在资本市场线上除市场组合外的任一投资组合，均包含无风险资产，只有市场组合不包含无风险资产，而完全是由风险资产构成，而且市场组合在资产上的投资比例为,1,2,,iijvminviim市场组合在资产上的投资比例与资产的市场价值成正比.这一结论是由夏普(Sharpe,1964),林特纳(Lintner,1965)和莫森(Mossin,1966)分别给出的。iiv