高考数学复习全套课件 第九章 第一节 平面和空间直线

1.理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图．2．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．3．掌握空间两直线平行与垂直的判定定理和性质定理．4．会用反证法证明简单的问题．1.平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α两点名称图示文字表示符号表示公理2如果两个不重合的平面有，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公理3经过的三点，有且只有一个平面一个公共点不在同一条直线上名称图示文字表示符号表示推论1经过一条直线和的一点，有且只有一个平面推论2经过两条，有且只有一个平面推论3经过两条，有且只有一个平面这条直线外相交直线平行直线[思考探究]公理1、2、3及其推论各有什么作用？提示：(1)公理1常用于判定直线在平面内，点在平面内．(2)公理2的作用有：①判定两个平面相交；②证明点在直线上；③证明三点共线；④证明三线共点；⑤画两个相交平面的交线．(3)公理3及其推论的作用：①确定平面；②证明两个平面重合；③证明点、线共面；④作截面、辅助面．2．空间直线(1)空间两直线的位置关系(2)平行直线(3)异面直线3．斜二测画法斜二测画法的步骤(1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝，且∠yOz＝.(2)画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝(或)，∠x′O′z′＝.x′O′y′所确定的平面表示水平平面．90°45°135°90°90°(3)已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，在直观图中．(5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．X’轴、y’轴或z’轴保持长度不变一半长度为原来长度的1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A.A∈l，l∉αB.A∈l，l⊄αC.Al，l⊄αD.Al，l∉α解析：本小题考查立体几何中的符号语言.答案：B2.已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：c与b不可能是平行直线，否则c∥b，又c∥a，则有a∥b，与a，b异面矛盾.答案：C3.直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为()A.1B.3C.6D.0解析：如图所示，可知确定3个平面.答案：B4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．解析：如图所示．原平面四边形面积为a×2a＝2a2.答案：2a25.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是.解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，则MNAD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AMDN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝a，DN＝a，B1N＝a，∴cos∠B1DN＝＝.答案：所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．证明点线共面的常用方法1．纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．2．辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．3．反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？[思路点拨](1)(2)方法一：证明D点在EF、CH确定的平面内.方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交.[课堂笔记](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GHAD.又BCAD，∴GHBC，∴四边形BCHG是平行四边形.(2)法一：由BEAF，G为FA中点知BEGF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.法二：如图，延长FE、DC分别与AB交于点M，M′，∵BEAF，∴B为MA的中点，∵BCAD，∴B为M′A的中点，∴M与M′重合，即EF与CD相交于点M(M′)，∴C、D、E、F四点共面.1.证明共线问题的理论依据公理2：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．2.证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线.[思路点拨][课堂笔记]⇒M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.在四面体ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF∩GH＝P，求证：B、D、P三点共线.证明：∵E∈AB，F∈AD，∴EF⊂平面ABD，同理，GH⊂平面BCD，又EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈直线BD，即B、D、P三点共线.1.异面直线的判定方法(1)排除法：若证得两条直线既不相交，也不平行，则必然是异面直线；(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线；(3)反证法：假设两条直线不异面，则必然平行或相交，从而推出矛盾，得出两直线必然异面．2．异面直线所成角(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③求：通过解三角形，求出该角．3．异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．[思路点拨](1)求异面直线所成的角的正切值，需要通过平移找出夹角后求得；(2)欲证DE为异面直线BB1与AC1的公垂线，由于AA1∥BB1，所以可以证明ED⊥平面AC1；(3)求异面直线的距离，方法之一是求公垂线段的长度．[课堂笔记](1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝a，tanA1AC1＝，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为.(2)法一：如图所示，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1∥MM1且BB1＝MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE∥BM且DE＝BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．法二：如图所示，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DE∥AF.在△ACF中，由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，所以DE＝a.通过将直线平移将异面直线所成的角（空间角）转化为平面角，进而通过解三角形求角来刻画空间两直线的位置关系，是高考的一个常考知识点.09年辽宁高考以解答题的形式考查了异面直线的证明，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·辽宁高考改编)(12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内，M、N分别为AB、DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求异面直线MN与AF所成的角；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【解】(1)如图，取EF的中点G，连结MG，则GFCD，又MACD，∴GFMA.┄┄┄┄┄┄(2分)∴四边形MAFG为平行四边形，∴MGAF.∴∠GMN即为异面直线MN与AF所成的角.┄┄┄(3分)连结AN，NG，设正方形棱长为a，则有MG＝a，NG＝a，MN＝＝a，在△MNG中，cos∠GMN＝＝＝，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)∴∠GMN＝30°，此即为异面直线MN与AF所成的角.┄┄┄┄┄┄(6分)(2)证明：假设直线ME与BN共面，┄┄┄┄┄┄(7分)则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.┄(8分)又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．┄┄┄┄(11分)所以ME与BN不共面，它们是异面直线．┄┄┄(12分)[自主体验]一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是()A.①②B.③④C.②③D.①③解析：将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.答案：D1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行.若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点.答案：A2.以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.3解析：若有三点共线，则这四点共面，故①正确；若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E不一定共面，故②错误；若a、b共面，a、c共面，则b、c共面或异面，故③错误；依次首尾相接的四条线段可能共面，也可能不共面，如空间四边形，故④错误.答案：B3．(2009·四川高考)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直