高考数学复习全套课件 第四章 第一节 角的概念及任意角的三角函数

1.了解任意角的概念、弧度的意义.2.能正确地进行弧度与角度的换算.3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.4.了解余切、正割、余割的定义.1.角的概念2.象限角象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3.终边相同的角.终边相同的角：所有与角α终边相同的角(连同α在内).可构成一个集合S＝.{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}[思考探究](1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍.(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐角.小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角.4.弧度制三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，点P(x，y)为α终边上任意一点，那么sinα＝cosα＝tanx＝5.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切各象限符号ⅠⅡⅢⅣ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦＋＋＋＋－－－－＋－＋－三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT1.与610°角终边相同的角可表示为()A.k·360°＋230°，k∈ZB.k·360°＋250°，k∈ZC.k·360°＋70°，k∈ZD.k·360°＋270°，k∈Z解析：由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同.答案：B2.已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是()解析：∵sinα＝，且α的终边在第四象限，∴α＝π.答案：BA．B．C．D．3.已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角解析：∵cosθ·tanθ＝sinθ＜0，cosθ≠0.∴θ为第三、四象限角.答案：C4.弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为，面积为.解析：弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝α·r得r＝＝4，面积S＝lr＝6π.答案：46π5.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第象限角.解析：当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，当k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°，∴α为第一或第三象限角.答案：一或三1.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.2.角所在象限α第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角第一或第三象限角第一或第三角限角第二或第四象限角第二或第四象限角[特别警示](1)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π]范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(2)角度制和弧度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)都是不正确的.(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝上的角的集合；(3)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角.[思路点拨][课堂笔记](1)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ－－2kπ＜－α＜－π－2kπ.即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z).∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπ＜α＜＋2kπ得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z).∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.(2)在(0，π)内终边在直线y＝上的角是，∴终边在直线y＝上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}.(3)∵θ＝＋2kπ，∴(k∈Z).依题意0≤＋＜2πk∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为解：∵π＋2kπ＜α＜π＋2kπ，∴＋kπ＜π＋kπ，当k＝2n时，＋2nπ＜＜π＋2nπ，当k＝2n＋1时，π＋2nπ＜π＋2nπ∴为第二或第四象限角.在(1)的条件下，判断为第几象限角？74设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(弧度)，半径为r，则l＝|α|·r；S扇形＝lr＝|α|r2[特别警示]这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示.已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[思路点拨][课堂笔记](1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝cm.(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R(0＜R＜10).∴S扇＝l·R＝(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R.∴当且仅当R＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝＝2rad.∴当α＝2rad时，扇形面积取最大值.若扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求α？解：依题意有①代入②得R2－5R＋4＝0解之得R＝1或R＝4.当R＝1cm时，l＝8cm，此时α＝8rad＞2πrad，舍去；当R＝4cm时，l＝2cm，此时α＝rad.1.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限.2.对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限.(1)若sinθ·cosθ＞0，且tanθ·cosθ＜0，则角θ的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)若θ是第二象限角，则的符号是什么？[思路点拨]利用三角函数在各象限的符号进行判定.[课堂笔记](1)因为sinθcosθ＞0，所以角θ在第一或第三象限，又tanθcosθ＜0，则角θ在第三或第四象限，故角θ的终边落在第三象限.[答案]C(2)∵2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，∴－1＜cosθ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，k∈Z，－1≤sin2θ＜0，∴sin(cosθ)＜0，cos(sin2θ)＞0，∴＜0.本节是三角函数的基础，高考偶尔以选择题的形式进行考查，考点主要集中在三角函数在各象限的符号问题，以及终边相同角的三角函数问题，纵观近三年高考题，08年全国卷Ⅱ第1题和09年北京卷第5题都能很好的代表本节高考的考向.[考题印证]1.(2008·全国卷Ⅱ)若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】由sinα＜0得α在三、四象限.由tanα＞0得α在一、三象限；故α在第三象限.【答案】C2.(2009·北京高考)“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos2α＝由cos2α＝得2α＝2kπ±(k∈Z)，∴α＝kπ±(k∈Z).由cos2α＝，不能得到α＝＋2kπ(k∈Z).【答案】A[自主体验]1.若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sin2θ＝2sinθ·cosθ＜0，而cosθ＞0.∴sinθ＜0.∴θ为第四象限角.答案：D2.已知集合A＝{，2}，B＝{1，sinθ}，则“θ＝”是“A∩B＝{}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由A∩B＝{}得sinθ＝.∴θ＝＋2kπ或θ＝π＋2kπ，k∈Z.∴由θ＝πA∩B＝{}，但由A∩B＝{}θ＝π.答案：A1.“tanα＝1”是“α＝”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：α＝tanα＝1，但tanα＝1α＝.答案：B解析：点A的坐标是(2sin，2cos)，即(，1).∴sinα＝，又∵α为锐角，∴α＝2.已知锐角α终边上一点A的坐标是(2sin，2cos)，则α弧度数是()A.2B.C.D.答案：C3.若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ(m，n∈Z)，则α、β终边的位置关系是()A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析：∵α与θ终边相同，β与－θ终边相同，θ与－θ终边关于x轴对称.∴α与β终边关于x轴对称.答案：C4.已知角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则＝.解析：∵角α的终边在直线y＝－3x(x＜0)上，∴α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴＝1＋1＝2.答案：25.在单位圆中，一条弦AB的长度为，则该弦AB所对的圆心角α是rad.解析：由已知R＝1，∴sin∴答案：π6.(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cosα＝x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解：(1)∵r＝，∴cosα＝，从而x＝，解得x＝0或x＝±∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－故r＝2，sinα＝tanα＝(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－