高考数学复习全套课件(理) 第二章 第三节 函数的单调性

1.理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的单调性．1．区间上增加(减少)的函数(1)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1、x2∈A，当x1x2时，都有，则称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．(2)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有，则称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)2．单调函数及相关概念1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y＝－x＋1B.y＝C.y＝x2－4x＋5D.y＝解析：∵函数y＝的单调增区间为[0，＋∞)，∴函数y＝在(0,2)上为增函数.答案：B2.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A.k＞B.k＜C.k＞－D.k＜－解析：∵函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减数，∴2k＋1＜0，∴k＜－.答案：D3.若函数y＝ax与y＝－(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－＜0，∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)是减函数.答案：B4.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有.①＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；④＞0.解析：∵f(x)在[a，b]上为增函数.∴x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同.∴①②④均正确.又∵不知道x1，x2的大小，∴无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故③错误.答案：①②④5.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是.解析：①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上为减函数；②当a0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0a≤；③当a0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数.综合知：a的取值范围是[0，].答案：[0，]1.用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.(4)判断：根据定义得出结论.2.(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)＋g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数).(2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同则增，异则减”.讨论函数f(x)＝(a＞0)的单调性.[思路点拨][课堂笔记]∵f(x)＝，∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(a＋)－(a＋)＝＝.①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.法二：(导数法)∵f′(x)＝，又∵a＞0，∴f′(x)＜0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.法三：(图象法)由f(x)＝a＋可知其图象对称中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的两条渐近线，故其图象如图所示，∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.讨论函数f(x)＝(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝＝.∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，－1＜0，－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为增函数.1.求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出可直接由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间.2.求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”.求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x2－4|x|＋3；(2)f(x)＝.[思路点拨][课堂笔记](1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝于是可得函数f(x)＝x2－4|x|＋3的图象，如图所示.由图可知，函数的增区间为[－2,0)，(2，＋∞)，减区间为(－∞，－2)，[0,2).(2)∵y＝，∴该函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞).又∵y＝可看作是由y＝与u＝x2－1两个函数复合而成的，且y＝在u∈[0，＋∞)上为增函数，而u＝x2－1在(－∞，－1]上为减函数且u≥0，在[1，＋∞)上为增函数且u≥0.∴当x∈(－∞，－1]时，y＝为减函数，当x∈[1，＋∞)时，y＝为增函数.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值.[思路点拨][课堂笔记](1)法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x).在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2).又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).因此f(x)在R上是减函数.法二：设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2).又∵x＞0时，f(x)＜0.而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数.(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3).而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.高考对函数单调性的考查方式灵活，既有函数单调性的判定、单调区间的求法，又有利用函数单调性解不等式、比较大小、求最值等.而抽象函数的单调性问题脱离了特殊的函数模型的实际背景，由一个抽象的代数公式诠释一个具有深远意义的函数性质，从近几年高考看，抽象函数与函数的单调性相结合求参数的取值范围或求自变量x的取值范围成为高考命题的一个新考向.[考题印证](2009·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)f()的x取值范围是()A.(，)B.[，)C.(，)D.[，)【解析】f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)f()⇔|2x－1|⇔x.【答案】A[自主体验]函数f(x)在R上是增函数，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，若f(4)＝5，则不等式f(3m2－m－2)＜3的解集为.答案：(－1，)解析：∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴原不等式可化为f(3m2－m－2)f(2)，∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－22，解得－1m，故解集为(－1，).1．下列函数中，为增函数的是()A．f(x)＝(x0)B．f(x)＝C．f(x)＝－x＋D．f(x)＝x2－6x＋9(x≥3)解析：由复合函数的单调性知f(x)＝(x0)是减函数，f(x)＝是减函数，f(x)＝－x＋是减函数，而D中，f(x)＝(x－3)2(x≥3)，f(x)是增函数．答案：D2.已知f(x)为R上的减函数，则满足f()＞f(1)的实数x的取值范围是()A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，0)∪(0,1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：依题意得＜1，即＞0，所以x的取值范围是x＞1或x＜0，选D.答案：D3.已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(－∞，3)C.[,3)D.(1,3)解析：(1)由于x≥1时，f(x)＝logax单调递增，故a＞1；(2)x＜1时，f(x)＝(3－a)x－4a单调递增，故3－a＞0，a＜3；要同时满足(1)(2)两个条件，则1＜a＜3，此时(3－a)x－4a＜0(x＜1)，又logax≥0(x≥1)，满足题意.答案：D4.y＝的递减区间是，y＝的递减区间是.解析：y＝＝＝－1＋,∴y＝的递减区间是(－1，＋∞)和(－∞，－1).要使函数y＝有意义，则≥0，且1＋x≠0，∴－1＜x≤1∴y＝的递减区间为(－1,1].答案：(－1，＋∞)和(－∞，－1)(－1,1]5.若在区间[,2]上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝x＋在同一点取得相同的最小值，则f(x)在该区间上的最大值是.解析：对于g(x)＝x＋在x＝1时，g(x)取最小值为2，则f(x)在x＝1时取最小值2，∴－＝1，f(1)＝1＋p＋q＝2.∴p＝－2，q＝3.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在该区间上的最大值为3.答案：36.已知函数f(x)＝(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.解：(1)证明：设x2x10，则x2－x10，x1x20，∵f(x2)－f(x1)＝＝＝0，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的.(2)∵f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，∴f＝，f(2)＝2.∴易得a＝.