高考数学复习全套课件(理) 第二章 第五节 指数与指数函数

1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．分数指数幂的表示2．实数指数幂的运算3.指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域:(2)值域:R(0，＋∞)a＞10＜a＜1性质(3)过点，即x＝时，y＝(4)当x＞0时，；x＜0时，(4)当x＞0时，；x＜0时，(5)是R上的(5)是R上的y＞1y＞10＜y＜10＜y＜1增函数减函数(0，1)01[思考探究2]如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，如何确定底数a，b，c，d与1之间的大小关系.提示：在图中作出直线x＝1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c＞d＞1＞a＞b，所以无论在y轴的右侧还是左侧，底数按逆时针方向依次变大.1.若x4＝16，则实数x的值为()A.4B.±4C.2D.±2解析：x4＝16⇒x2＝4⇒x＝±2.答案：D2.化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A.－9B.7C.－10D.9解析：[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7.答案：B3.函数f(x)＝ax(a0且a≠1)对于任意的实数x，y都有()A.f(xy)＝f(x)f(y)B.f(xy)＝f(x)＋f(y)C.f(x＋y)＝f(x)f(y)D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：∵f(x)·f(y)＝ax·ay＝ax＋y＝f(x＋y).答案：C4.已知a＝(a0)，则loga＝.解析：a＝＝，∴a＝，∴a＝，loga＝log＝3.答案：35.函数y＝()1－x的值域是.解析：函数的定义域为R，令u＝1－x∈R，∴y＝()u＞0.答案：(0，＋∞)指数幂的化简与求值的原则及结果要求1.化简原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序.2.结果要求（1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；（2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；（3）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.[特别警示]有理数指幂数的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质来运算.已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a＜b，求(1)÷；(2)；(3)(a－b)÷(a－b)－(a＋b)÷(a＋b).[思路点拨][课堂笔记]∵a，b是方程的两根，解9x2－82x＋9＝0，解得x1＝，x2＝9，且a＜b，故a＝，b＝9.(1)原式＝＝∵a＝，∴原式＝3.(2)化去负指数后解．∴2(ab)＝2.从而原式＝2.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(1，a)，(0,1)，(－1，)，熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝()x，y＝()x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.已知函数y＝()|x＋1|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.[思路点拨][课堂笔记](1)由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：y＝()x(x≥0)y＝()x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x＜0)y＝3x＋1(x＜－1).图象如图所示：(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数.(3)由图象可知当x＝－1时，函数y＝()|x＋1|取最大值1，无最小值.解：(1)图象如图.(2)函数在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.(3)当x＝1时函数y＝()|x－1|有最大值1，无最小值若将本例中的函数改为y＝()|x－1|，答案又如何？1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性、值域，可确定y＝af(x)的值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).(1)讨论函数f(x)＝()的单调性，并求值域.(2)已知2≤()x－2，求函数y＝2x－2－x的值域.[思路点拨][课堂笔记]∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，y＝()u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上是增函数，y＝()u在其定义域内是减函数，∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数.f(x)在(1，＋∞)上是减函数.∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0＜＜1，0＜()≤()－1＝3.∴函数f(x)的值域为(0,3].(2)∵2＋x≤2－2(x－2)，∴x2＋x≤4－2x，即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y＝2x－2－x在[－4,1]上为增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1.故所求函数y的值域是[].指数函数为每年高考的必考内容，其中指数函数图象以及指数函数与对数函数的关系为高考的常考内容，09年江苏高考将指数函数的图象和性质与不等式、比较大小等问题结合考查，成为高考命题的新方向.[考题印证](2009·江苏高考)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为.【解析】∵a＝∈(0,1)，故aman⇒mn.【答案】mn[自主体验]若x∈[－1,1]时，22x－1＜ax＋1恒成立，则实数a的取值范围为()A.(，＋∞)B.(，＋∞)C.(2，＋∞)D.(，＋∞)解析：由22x－1＜ax＋1⇒(2x－1)lg2＜(x＋1)lga⇒x·lg－lg(2a)＜0，设f(x)＝x·lg－lg(2a)，由当x∈[－1,1]时，f(x)＜0恒成立，得⇒⇒a＞为所求的范围.答案：A1.函数y＝2的值域是()A.[0，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.[，＋∞)解析：由于y＝2中≥0，所以y＝2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞).答案：B2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0解析：所给图象是由f(x)＝ax的图象左移得到，故b＜0，又由递减性知，0＜a＜1.答案：D3．设3x＝，则()A．－2＜x＜－1B．－3＜x＜－2C．－1＜x＜0D．0＜x＜1解析：∵∴－2＜x＜－1.答案：A4.函数f(x)＝ax(0＜a＜1)，x∈[1,2]的最大值比最小值大，则a的值为.解析：由已知可得＝a－a2(0＜a＜1)，解得a＝.答案：5.若x＞0，则＝.解析：答案：－235.已知函数f(x)＝a|x|－(其中a＞0且a≠1，a为实常数).(1)若f(x)＝2，求x的值(用a表示)；(2)若a＞1，且atf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围(用a表示).解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝ax－.由条件可知，ax－＝2，即a2x－2ax－1＝0，解得ax＝1±.∵ax＞0，∴x＝loga(1＋).(2)当t∈[1,2]时，at(a2t－)＋m(at－)≥0，即m(a2t－1)≥－(a4t－1).∵a＞1，t∈[1,2]，∴a2t－1＞0，∴m≥－(a2t＋1).∵t∈[1,2]，∴a2t＋1∈[a2＋1，a4＋1]，∴－(a2t＋1)∈[－1－a4，－1－a2].故m的取值范围是[－1－a2，＋∞).