高三数学函数与导数

集合、函数与导数、不等式失分点1忽视空集致误例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．错解∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5，∴A＝{x|－2≤x≤5}．由A∪B＝A知B⊆A，∴－2≤m＋12m－1≤5，即－3≤m≤3，∴m的取值范围是－3≤m≤3.找准失分点B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的讨论，是本题的一个失分点．失分原因与防范措施造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现AB，A∩B=A，A∪B=B时，注意对A进行分类讨论，即分为A=和A≠两种情况讨论.正解∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．①若B＝∅，则m＋12m－1，即m2，故m2时，A∪B＝A；②若B≠∅，如图所示，则m＋1≤2m－1，即m≥2.由B⊆A得－2≤m＋1，2m－1≤5.解得－3≤m≤3.又∵m≥2，∴2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.变式训练1设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解∵A＝{0，－4}，∴B⊆A分以下三种情况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，－2(a＋1)＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.失分点2忽视集合的三特性致误例2设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，若A∩B＝{9}，则实数a＝________.错解3或－3找准失分点忽视了集合中元素的互异性．失分原因与防范措施在求出a的值后，没有验证集合中的元素是否符合要求，是否具有集合元素的特征是导致本题失分的根本原因.在解决集合中的含参数问题时，一定要考虑全面，注意用元素的互异性检验所求的参.正解由A∩B＝{9}，知9∈A.①当2a－1＝9时，a＝5，检验不符合要求，舍去；②当a2＝9时，a＝3或a＝－3，检验a＝3不符合要求．故a＝－3.变式训练2设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得A∪B＝{1，a，a2}与A∩B＝{1，a}同时成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．解假设这样的实数a存在，由A∩B＝{1，a}，知a2＝a，∴a＝0或a＝1.当a＝0时，A∪B不可能为{1，a，a2}，故a＝0不合题意；当a＝1时，B＝{1，a2}中，a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故a＝1也不合题意．综上可知，满足题设条件的实数a不存在．失分点3对命题的否定不当致误例3已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5∈M，则a的取值范围是________．错解(－∞，－2)∪(5，＋∞)找准失分点5∈M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a＋105a－250；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种情况．失分原因与防范措施本题失分率高达56%，实质上当x=5时，不成立，即是对命题的否定.失分的原因就在于对命题的否定不当.对于这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为或ax-25=0.当然，就本题而言，也可以先求出5∈M时的a的范围，再求其补集.02510axax02510axax02510axax正解方法一∵5∈M，∴5a＋105a－250或5a－25＝0，∴a－2或a5或a＝5，故填a≥5或a－2.方法二若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a5，∴5∈M时，a－2或a≥5.故填a－2或a≥5.变式训练3已知集合M＝{x|a2x＋2a－12ax－10}，若2∈M，则实数a的取值范围是_______________．解析若2∈M，则2a2＋2a－122a－10，即(2a－1)(a2＋a－6)0，∴(2a－1)(a－2)(a＋3)0，∴a－3或12a2，∴当2∈M时，a的取值范围为：－3≤a≤12或a≥2.故填：－3≤a≤12或a≥2.－3≤a≤12或a≥2失分点4函数概念不清致误例4已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，求f(x)的定义域．错解由x2x2－40，得x2或x－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x2或x－2}．找准失分点错把lgx2x2－4的定义域当成了f(x)的定义域．失分原因与防范措施失分的原因是将f(x2-3)与f(x)的定义域等同起来了.事实上，f(x2-3)=与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因是未弄清函数的概念.求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错.422xx正解由f(x2－3)＝lgx2x2－4，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lgt＋3t－1.∵x2x2－40，即x24，∴t＋34，即t1.∴f(x)的定义域为{x|x1}．变式训练4已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2(x≠0)，那么f(2)的值为________．解析令g(x)＝1－2x＝2，∴x＝－12，∴f(2)＝f[g(－12)]＝1－1414＝3.3失分点5忽视函数的定义域致误例5已知f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值．错解y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，∴y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵1≤x≤9，∴0≤log3x2，故当x＝9，即log3x＝2时，y取最大值为22.找准失分点忽视了y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域：{x|1≤x≤3}．失分原因与防范措施本题错误的原因在于没有注意到函数y=［f(x)］2+f(x2)的定义域的变化.误以为函数y=［f(x)］2+f(x2)的定义域就是f(x)的定义域.在解决有关函数的问题时，首先应考虑函数的定义域，这是一条基本原则.正解∵f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须有1≤x2≤9，1≤x≤9.∴1≤x≤3,0≤log3x≤1.设t＝log3x，则t∈[0,1]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋4＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝t2＋6t＋6(0≤t≤1)．对称轴为直线t＝－3，在区间[0,1]的左侧．∴函数在t∈[0,1]上单调递增．当t＝1时，ymax＝1＋6＋6＝13.变式训练5函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间是________．解设y＝log4u，u＝－x2＋6x＋7，则二次函数u＝－x2＋6x＋7在(－∞，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．又y＝log4u是增函数，函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的定义域是(－1,7)，故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为(－1,3]．(－1,3]失分点6混淆“切点”致误例6求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．错解∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为：y＋1＝x－1即x－y－2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点．失分原因与防范措施过曲线上的点（1，-1）的切线与曲线的切点可能是（1，-1），也可能不是（1，-1）.本题错误的根本原因就是把（1，-1）当成了切点.解决这类题目时，一定要注意区分“过点A（x0,y0）的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1，或x0＝－12.故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－(－18＋1)＝(34－2)(x＋12)，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.0xx变式训练6曲线C：y＝3x－x3过点A(2，－2)的切线方程是_____________________________．解析设切点为P(x0，y0)，f′(x)＝3－3x2.则P点处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，即y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵点A(2，－2)在切线上，∴－2－3x0＋x30＝(3－3x20)(2－x0)，解得x0＝2或x0＝－1.∴过点A(2，－2)的切线方程分别为y＋2＝－9(x－2)或y＋2＝0，化简得9x＋y－16＝0或y＋2＝0.9x＋y－16＝0或y＋2＝0失分点7极值点概念不清致误例7已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.错解－7或0找准失分点x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0⇒x＝1是f(x)的极值点”的情况．失分原因与防范措施“函数y=f(x)在x=x0处的导数值为0”是“函数y=f(x)在点x=x0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f(x)在x=x0处取极值”的必要条件误作充要条件.对于可导函数f(x):x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，即若f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)=0.f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑f′(x0)=0，又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则易产生增根.正解f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，联立①②得a＝4，b＝－11，或a＝－3，b＝3.当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.②变式训练7已知函数f(x)＝x44＋b3x3－2＋a2x2＋2ax在点x＝1处取极值，且函数g(x)＝x44＋b3x3－a－12x2－ax在区间(a－6,2a－3)上是减函数，求实数a的取值范围．解f′(x)＝x3＋bx2－(2＋a)x＋2a，由f′(1)＝0，得b＝1－a，当b＝1－a时，f′(x)＝x3＋(1－a)x2－(2＋a)x＋2a＝(x－1)(x＋2)(x－a)，如果a＝1，那么x＝1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b＝1－a且a≠1.g′(x)＝x3＋bx2－(a－1)x－a＝x3＋(1－a)x2－(a－1)x－a＝(x－a)(x2＋x＋1)．当xa时，g′(x)0，g(x)在(－∞，a)上单调递减，∴(a－6,2a－3)⊆(－∞，a)，∴a－62a－3≤a，故所求a的范围为－3a≤3.综上可知a的取值范围应为－3a≤3且a≠1.失分点8导数与单调性的关系理解不准致