高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 指数函数及其性质(习题课)课件 新人教A版必修1

•本节重点：①分数指数幂的运算性质．•②指数函数的图象与性质．•本节难点：指数型复合函数的性质．1．在指数幂的运算中，要注意nan与(na)n的区别．牢固掌握：①分数指数幂的定义amn＝nam及限制条件(a0，m，n∈N*，n1)；②a－x＝1ax；③指数幂的运算性质．•[解析]∵ab0，∴a－b0，a＋b0，当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；•当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|•＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.[例1]已知ab0，n1，n∈N*，化简n(a－b)n＋n(a＋b)n.[分析]应用nan＝aa0或n为奇数－aa0且n为偶数求解．所以，n(a－b)n＋n(a＋b)n＝2an为奇数－2an为偶数.[例2]已知x＋y＝12，xy＝9，且xy，求的值．[分析]x12＋y12与x12－y12可构成平方差关系，故可先用乘法公式化简，再代入求值．[解析]∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108，又xy，∴x－y＝－63，∴原式＝＝(x＋y)－2xyx－y＝12－29－63＝－33.•2．要注意结合指数函数的图象掌握指数函数的性质，灵活运用指数函数的图象与性质解决有关问题．[例3]已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，12)，其中a0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．[分析]由函数f(x)的图象过点(2，12)知，f(2)＝12可求得a的值，由f(x)的单调性可求f(x)的值域．[解析](1)∵函数图象过点(2，12)，∴a2－1＝12，则a＝12.(2)f(x)＝(12)x－1(x≥0)，由x≥0得，x－1≥－1，∵y＝12u是减函数，u＝x－1≥－1，∴0y≤2，所以函数的值域为(0,2]．[例4]若函数f(x)＝axx14－a2x＋2x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(1,8)C．(4,8)D．[4,8)[分析]f(x)在R上是增函数，故在(－∞，1]上和(1，＋∞)上都单调增，即y＝ax(x1)和y＝(4－a2)x＋2(x≤1)都是增函数，且在(－∞，1]上的最大值不大于．．．在(1，＋∞)上的最小值．[解析]因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知a14－a204－a2＋2≤a，解得4≤a8，故选D.•3．注意将指数型函数的问题转化为指数函数的图象与性质问题．[例5]求函数y＝14x＋12x＋1的值域．[解析]令t＝12x，则t0，∴y＝t2＋t＋1＝(t＋12)2＋34，在(0，＋∞)上为增函数，∴y1，∴此函数值域为(1，＋∞)．[点评]注意换元后用t代替了12x，故“新元”t的取值范围应是12x的取值范围，故t0，这就是换元后的以t为自变量的函数y＝t2＋t＋1的定义域．•[答案]B一、选择题1．关于x的方程12|x|＝a＋1有解，则a的取值范围是()A．0a≤1B．－1a≤0C．a≥1D．a0[分析]当a＋1的值在函数y＝12|x|的值域内时，方程有解，否则无解．[解析]设f(x)＝12|x|，其图象如下∴0f(x)≤1∴0a＋1≤1∴－1a≤0.•2．设a4x≥ax2＋4(a0，且a≠1)，则a的取值范围是()•A．a1B．0a1•C．a0，且a≠1D．不确定•[答案]B•[解析]∵(x2＋4)－4x＝(x－2)2≥0，•∴x2＋4≥4x，又a4x≥ax2＋4，•∴函数y＝ax是减函数，∴0a1.选B.•3．(2010·重庆文，4)函数的值域是()•A．[0，＋∞)B．[0,4]•C．[0,4)D．(0,4)•[答案]C[解析]令u＝16－4x，则y＝u，u≥0，因为4x0，－4x0，所以0≤16－4x16，即0≤u16，∴y＝u∈[0,4)，故选C.•二、解答题•4．若函数y＝f(x)满足以下条件：•①对于任意的x∈R，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)f(y)；•②x∈(0，＋∞)时，f(x)∈(1，＋∞)．•(1)求f(0)的值；•[解析](1)∵f(x＋y)＝f(x)f(y)对一切实数x，y成立，•∴取x＝y＝0，有f(0)＝f2(0)，•∴f(0)＝0或f(0)＝1，•若f(0)＝0，则f(x＋0)＝f(0)f(x)＝0，•这与x0时，f(x)1矛盾，∴f(0)＝1.(2)证明：对任意x∈R，f(x)＝f(x2＋x2)＝f2(x2)结合(1)知，f(x)0，又由条件知f(x)＝f[(x－y)＋y]＝f(x－y)·f(y)，∴f(x－y)＝f(x)f(y)(f(y)≠0)．•[点评]1.抽象函数求值，抽象函数性质的讨论等，常用赋值法解法．•2．抽象函数的题目，常以某种函数为背景命制，如本题就是以指数函数为背景命制的题目，解题时可联想相应的函数以帮助打开思路．