黄昆版固体物理学课后答案解析答案

1《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnVx（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r，V=3r34，Vc=a3，n=1∴52.06r8r34ar34x3333（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x334ar4a3n=2,Vc=a3∴68.083)r334(r342ar342x3333（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a,r4a2n=4，Vc=a374.062)r22(r344ar344x3333（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6260sinaa6SABO=2a233晶胞的体积：V=332r224a23a38a233CSn=1232126112=6个74.062r224r346x33（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r8ar24a3n=8,Vc=a3234.063r338r348ar348x333331.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac2/1证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、O的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO构成一个正四面体。…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij由倒格子基矢的定义：1232()baa31230,,22(),0,224,,022aaaaaaaaaa，223,,,0,()224,,022ijkaaaaaijkaa213422()()4abijkijkaa同理可得：232()2()bijkabijka即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk3由倒格子基矢的定义：1232()baa3123,,222(),,2222,,222aaaaaaaaaaaaa，223,,,,()2222,,222ijkaaaaaajkaaa213222()()2abjkjkaa同理可得：232()2()bikabija即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.5、证明倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。证明：因为33121323,aaaaCACBhhhh，112233Ghbhbhb利用2ijijab，容易证明12312300hhhhhhGCAGCB所以，倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足：22222()dahkl，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123aaa，123,,aaiaajaak由倒格子基矢的定义：2311232aabaaa，3121232aabaaa，1231232aabaaa4倒格子基矢：123222,,bibjbkaaa倒格子矢量：123Ghbkblb，222Ghikjlkaaa晶面族()hkl的面间距：2dG2221()()()hklaaa22222()adhkl面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。解：(111)1、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：BRajak，(111)面与(100)面的交线的晶向ABajak，晶向指数[011]。(111)2、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：BRaiaj，(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj，晶向指数[110]。5第二章固体结合2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数2ln2，设离子的总数为2N。＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]234jijrrrrr前边的因子2是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1)...234nxxxxx当X=1时，有1111...2234n2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurrr试求：（1）平衡间距0r；（2）结合能W（单个原子的）；（3）体弹性模量；（4）若取02,10,3,4mnrAWeV，计算及的值。解：（1）求平衡间距r0晶体内能()()2mnNUrrr平衡条件00rrdUdr，11000mnmnrr，10()nmnrm（2）单个原子的结合能01()2Wur，00()()mnrrurrr，10()nmnrm1(1)()2mnmmnWnm（3）体弹性模量0202()VUKVV1112[1...]23422n6晶体的体积3VNAr，A为常数，N为原胞数目晶体内能()()2mnNUrrrUUrVrV1121()23mnNmnrrNAr221121[()]23mnUNrmnVVrrrNAr022222000001[]29mnmnVVUNmnmnVVrrrr由平衡条件01120001()023mnVVUNmnVrrNAr，得00mnmnrr0222220001[]29mnVVUNmnVVrr02220001[]29mnVVUNmnmnVVrr2000[]29mnNnmVrr000()2mnNUrr020220()9VVUmnUVV体弹性模量009mnKUV（4）若取02,10,3,4mnrAWeV10()nmnrm，1(1)()2mnmmnWnm1002Wr，20100[2]rWr-95101.210eVm，1929.010eVm2.6、bcc和fccNe的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．＜解＞1261261()4()(),()(4)()()2nlururNAArrrr726661200612()1022rAAdurruNrAA22066201212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13bccbccfccfccurAAurAA2.7、对于2H，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为65010,2.96.JA计算fcc结构的2H的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．＜解＞以2H为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：1261262.ijijijUNPPRR61214.45392;12.13188,ijijjiPP16235010,2.96,6.02210/.ergANmol12628162.962.962602210/501012.1314.452.55/.3.163.16UUmolergKJmol0将R代入得到平衡时的晶体总能量为。因此，计算得到的2H晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于2H的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．8第三章固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，sin(_)njjjjjatnaq，j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即sin()nnjjjjjjjatnaq（1）2*2*nnjnjnjnjnjjjjjj由于njnj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以22nnjj由于nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为02220011sin()2TjjjjjjatnaqdtaT（2）已知较高温度下的每个格波的能量为KT，nj的动能时间平均值为9002222200000111sin()224LTTnjjjnjjjjjjjdwaTdxdtLatnaqdtwLaTdtT其中L是原子链的长度，使质量密度，0T为周期。所以221142njjjTwLaKT（3）因此将此式代入（2）式有22njjKTPL所以每个原子的平均位移为22221nnjjjjjjKTKTPLPL3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应。解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛顿运动方程2221212121222(2)(2)nnnnnnnnmMN个原胞，有2N个独立的方程设方程的解[(2)]2[(21)]21itnaqnitnaqnAeBe，代回方程中得到22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaqBaqAMBA、B有非零解，2222cos02cos2maqaqM，则12222()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmM两种不同的格波的色散关系1222212222()4{