江苏省南通市海安高级中学2016-2017高一下期末数学试题

2016-2017学年末学业质量监测高一数学参考公式：锥体的体积13VSh，其中S为锥体的底面积，h为高.第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.函数sin23yx的最小正周期为__________．2.已知集合|11,1,0,2AxxB，则AB___________．3.函数212yxx的定义域为___________．4.在ABC中，设角,,ABC的对边分别为,,abc.若3abcbcabc，则角A的大小为_________．5.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm，则该棱锥的体积为__________3cm.6.设,ab为单位向量，且,ab的夹角为23，则abb的值为_________.7.已知方程24xx的根在区间,1kkkZ上，则k的值为_________．8.10123nn的值为_________．9.在正方体1111ABCDABCD中，与1AC垂直的面对角线的条数是___________．10.设函数,1xfxkakRa的图象过点0,8,3,1AB，则logak的值为__________．11.如图，三个相同的正方形相接，则tanABC的值为__________．12.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.13.已知sincos4cossin055，则sin53cos10的值为．14.已知正数,xy满足11410xyxy，则11xy的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABCABC中，点,DE分别在棱11,BCBC上（均异于端点），且111,ADCDAECD.（1）求证：平面1ADC平面11BCCB；（2）求证：1//AE平面1ADC.16.设,OAOB不共线，且,OCaOAbOBabR.（1）若12,33ab，求证：,,ABC三点共线；（2）若,,ABC三点共线，问：ab是否为定值？并说明理由.17.已知ABC的外接圆的半径为1，A为锐角，且3sin5A.（1）若2AC，求AB的长；（2）若1tan3AB，求tanC的值.18.某工厂2万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x（百套）的销售额（单位：万元）20.44.20.8,05914.7,53xxxPxxx.（1）若生产6百套此款服装，求该厂获得的利润；（2）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（3）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）19.设a为实数，函数2,fxxxaaxR.（1）求证：fx不是R上的奇函数；（2）若fx是R上的单调函数，求实数a的值；（3）若函数fx在区间2,2上恰有3个不同的零点，求实数a的取值范围.20.设等差数列na是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前n项和为nS，数列nb满足*1,nnnSbnNa.（1）若255,40aS，求2b的值；（2）若数列nb为等差数列，求nb；（3）在（1）的条件下，求证：数列na中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.试卷答案一、填空题1.2.03.3,44.35.4236.127.18.20769.610.311.1712.813.3514.9二、解答题15.证明：（1）在直三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，因为AD平面ABC，所以1CCAD．又1ADCD，111CCCDC，11,CCCD平面11BCCB，所以AD平面11BCCB，又AD平面1ADC，所以平面1ADC平面11BCCB；（2）因为11AECD，由（1）同理可得，1AE平面11BCCB，又由（1）知，AD平面11BCCB，所以1//AEAD，又1AE平面1ADC，AD平面1ADC，所以1//AE平面1ADC．16．证明：（1）当12,33ab时，1233OCOAOB，所以2133OCOBOAOC，即2BCCA，所以//BCCA，所以,,ABC三点共线．（2）ab为定值1，证明如下：因为,,ABC三点共线，所以//ACAB，不妨设ACABR，所以OCOAOBOA，即1OCOAOB，又OCaOAbOB，且,OAOB不共线，由平面向量的基本定理，得1ab，所以1ab（定值）．17．解：（1）在ABC中，由正弦定理2sinsinsinabcRABC得，362sin2155aRA，因为3sin,0,42AA，所以2234cos1sin155AA，在ABC中，由余弦定理222cos2bcaAbc得，2226245522cc，解得85c，所以AB的长为85；（2）由（1）知，3sin35tan4cos45AAA，所以31tantan1343tantan311tantan9143AABBAABAAB．在ABC中，ABC，所以313tantan7949tantan313tantan13149ABCABAB．18．解：（1）当6x时，利润9626114.72613.763yP（万元）；（2）考虑05x时，利润2220.44.20.820.43.22.8yPxxxxxxx，令20.43.22.80yxx得，17x，所以min1x；（3）当05x时，由（2）知220.43.22.80.443.6yxxx，所以当4x时，min3.6y（万元），当5x时，利润99214.729.7333yPxxxxxx，因为99323633xxxx（当且仅当933xx，即6x时，取“=”），所以max3.7y（万元），综上，当6x时，max3.7y（万元）．答：（1）生产6百套此款服装，该厂获得利润3.7万元；（2）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（3）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元．19．证明：（1）假设fx是R上的奇函数，则对任意的xR，都有fxfx（*）取0x，得00f，即20aa，解得0a，此时2fxxx，所以13,11ff，从而11ff，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以fx不是R上的奇函数；（2）222,23,xaxaxafxxaxaxa，①当2a时，对称轴22axa，所以fx在2,2a上单调递减，在2,2aa上单调递增，在,a上单调递减，不符；②当2a时，对称轴22axa，所以fx在,a上单调递减，在2,2aa上单调递增，在2,2a上单调递减，不符；③当2a时，对称轴22axa，所以fx在,2上单调递减，在2，上单调递减，所以fx是R上的单调减函数．综上，2a．（3）①当2a时，由（2）知，fx是R上的单调减函数，至多1个零点，不符；②当2a时，由（2）知，222axa，所以fx在2,2上单调递减，所以fx在2,2上至多1个零点，不符；③当2a时，由（2）知，222axa，所以fx在,a上单调递减，在2,2aa上单调递增，在2,22a上单调递减．因为fx在区间2,2上恰有3个零点，所以212222380,0,024aaafafaaf，20fa，解得0423a或423a，又2a，故0423a，综上，实数a的取值范围是0,423．20．解：（1）设等差数列na的公差为d，因为无穷数列na的各项均为互不相同的正整数，所以**1,aNdN，（1）由255,40aS得，11545,5402adad，解得12,3ad，所以21222215Sabaa；（2）因为数列nb为等差数列，所以2132bbb，即3212132111SSSaaa，所以111122312adadadad，解得1ad（0d已舍），此时，11112112nnnnnaSnbana；（3）由（1）知，等差数列na的通项公式*231,nannN，下证：对任意的*nN，124nnb都是na中的项，证明：当2n时，因为1224114443nn，所以12222242314441232144411nnnnb22214441na，其中22*214441nN，又1n时，112ba，所以对任意的*nN，124nnb都是na中的项，所以，数列na中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．