北京理工大学数学专业偏微分方程期末试题2014级A卷(MTH17178)

课程编号：MTH17178北京理工大学2016-2017学年第一学期2014级偏微分方程期终考试（A）1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：22,,0,0,txxuuuxtuxex。2.（10分）利用Fourier变换方法求解：,,,0,0,txubucufxtxtuxxx。3.（10分）利用行波法求解：0,,,0,,0ttxxuutxuxxxxuxxxx。给出适当的相容性条件。如果在,0a上给定，在0,b上给定，给出其决定区域。4.（15分）求解初边值问题：20,01,00,0,1,0,0,0,01txxxxuauuxtututtuxAx。5.（7分）对于初边值问题212,,0,,0,0,,0,0,0,,,,,0ttxxtxuaufxtxLtuxxuxxxLutgtuLtuLtgtt推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。6.（13分）对于有界区域,0,TQabT上的热方程2,0txxuaucxtu，其中,cxt下有界，证明如果,uxt在抛物边界上非正，则,uxt在TQ上非正。7.（15分）考虑波动方程初边值问题20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0ttxxtxxuauxLtuxxuxxxLutuLtuLtt，其中0，令t时刻的能量22222011,22LtxEtuaudxauLt，证明Et守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。8.（20分）设1,02,1TTuCQCQ且满足初边值问题,,,,0,0,0,,0,0,txxTxuufxtxtQuxxxLutuLttT，证明：22220000000,sup,,,LTLLTLxtTuxtdxdtuxtdxMxdxdtfxtdx，其中M仅依赖于T。提示：Gronwall不等式：设10,0,GCTCT，00G，且对于任意的0,tT，有GtCGtFt，其中C0，F非负单调递增，则有11,CtCtGtCeFtGteFt。