大高考2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第七节函数与方程课件理

第七节函数与方程知识点一函数的零点1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)方程的根函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程的实根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的.函数与方程间要灵活转化.f(x)＝0f(x)＝g(x)横坐标(3)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.2.函数零点的存在性定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上①图象上是连续不断的y＝f(x)在(a，b)内有零点②f(a)·f(b)0零点x轴►两个易混点：零点概念；零点个数.(1)[函数的零点是一个实数，不是点]函数f(x)＝2x＋1的零点是________.解析由f(x)＝2x＋1＝0得x＝－12，即函数零点为－12.答案－12(2)[由零点存在定理，当f(a)·f(b)＜0时，f(x)在(a，b)内存在零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上零点个数不确定，但f(x)若在(a，b)上为单调函数，则有唯一零点]函数f(x)＝ex＋2x在(－1，0)上零点个数为______.解析f(－1)＝1e－2＜0，f(0)＝e0＋0＝1＞0，f(－1)·f(0)＜0，又f(x)在(－1，0)上单调递增，故f(x)有唯一零点.答案1解析由题知方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.有1＋2＝－a，1×2＝b，即a＝－3，b＝2，所以a＋b＝－1.答案－1(3)[三种重要关系方程f(x)＝0的根⇔函数f(x)的零点⇔f(x)图象与x轴交点的横坐标]若函数f(x)＝x2＋ax＋b有两个零点为1，2，则a＋b＝________.知识点二二次函数的零点分布及二分法1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的零点分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一根在(m，n)之间2.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)0零点►一个重要应用：二次函数零点问题.(4)若函数f(x)＝x2－mx＋1有两个不同零点，则m的取值范围为________.解析方程x2－mx＋1＝0有两个不同实根，则Δ＝(－m)2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.答案m＜－2或m＞2(5)方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根一个比1大，另一个比1小，则实数a的取值范围为________.解析设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，则f(1)＜0，所以1＋a2－1＋a－2＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.答案－2＜a＜1突破判定函数零点个数的方法判断函数零点个数的常见方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断.【例1】(2015·南昌二模)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A.9B.10C.11D.18[解题指导]解析在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lgx|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是10，故选B.答案B[点评]解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.确定函数零点所在区间的求解方略判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上.(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【例2】设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确.对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故选C.答案C[点评]函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.数形结合思想在函数零点问题中的应用求解策略已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【例3】已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0).[解题指导]解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点.法二作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象如图.可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象如图.∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).[点评](1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解.(2)本题的易错点是确定g(x)的最小值和f(x)的最大值时易错.要注意函数最值的求法.忽视定义域导致零点个数判断失误【示例】定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2014x＋log2014x，则函数f(x)在R上的零点个数为______.解析当x＞0时，由f(x)＝2014x＋log2014x＝0得2014x＝－log2014x＝log12014x，作出函数y＝2014x与函数y＝log12014x的图象，可知它们只有一个交点，所以当x＞0时函数只有一个零点.由于函数为奇函数，所以当①x＜0时，也有一个零点；当②x＝0时，f(0)＝0，所以共有3个零点.答案3[方法点评]得出x＞0时的零点后，①②两处容易忽略对零点的分析，特别是②处最容易忽略，致使零点个数判断错误.