整式的概念

1知识点1字母表示数1.字母可以表示运算律、运算法则：如：加法交换律表示为：abba（a、b表示任意的有理数）；减法法则表示为：()abab（a、b表示任意的有理数）.2.字母可表示计算公式：如圆的半径是r，圆的面积是S，那么2Sr.3.字母可以表示方程里的未知量：如：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求它的长与宽.4.字母可表示可探索的数字规律.例1：下列叙述的事件中，字母各表示什么？（1）扇形的面积公式为2360nr；（2）每小时行驶100千米的汽车行驶了100t千米；（3）买4支钢笔用了4a元.解：（1）n表示扇形圆心角的度数，r表示扇形的半径；（2）t表示汽车行驶的时间；（3）a表示4支钢笔的平均单价.例2：设某数为x，用x表示下列各数：（1）某数的平方的相反数；（2）比某数的三倍大7；（3）7加上某数的和的三倍；（4）某数与5的和除以某数；（5）某数的113倍减去2的差.解：（1）2x；（2）37x；（3）3(7)x；（4）5xx；（5）423x.例3：观察下列各式：第一式：12341；第二式：23454；第三式：34569；第四式：456716；用含字母n的式子表示第n个式子.解：第n个式子是：2(1)(2)(3)nnnnn.练习：1.下列用字母表示的式子都有其特定的意义，请结合已学知识和经验对它们作出说明.（1）0mn；（2）0mn；（3）0mn；（4）0mn；（5）1mn；（6）1mn.解：（1）m、n互为相反数；（2）m、n异号；（3）m、n中至少有一个为0；2（4）m、n均不为0；（5）m、n互为倒数；（6）m、n互为负倒数.2.观察下列各式：21112，22223，23334，……用含字母n的式子表示第n个式子.解：第n个式子是：2(1)nnnn.3.电视剧飞天奖今年有a部作品参赛比去年增加了40%还多2部.设去年参赛的作品有b部，则b是（C）.A.2140%aB.(140%)2aC.2140%aD.(140%)2a注意：书写规范的通常约定：（1）式中出现的乘号，通常乘号写作“·”或省略不写.如6a通常写成6a或6a.（2）数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写），如6a不写成6a.（3）数字与数字相乘，一般仍用”“号.（4）式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写.如：2a通常写成2a.（5）表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数.如：112a要写成32a，免得产生112a的误解.知识点2代数式1.代数式的含义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.如：2n、0.8a、2500n、abc、222abacbc、3x、0、等.2.列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做列代数式.（2）列代数式的基本要领①抓住关键性词语.如“大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分”等②理清运算顺序.对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后.③正确使用括号.一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号.④正确利用”的、与”划分句子层次.⑤要慎重对待某些逆运算的关系.如设甲数为x，甲乙两数的和为a，用代数式表示乙数，不能表示成xa，而应表示为ax.例1：下列各式，哪些是代数式？（1）5x；（2）22abba；（3）417x；（4）b；（5）0；（6）23x；（7）430a；（8）326；（9）820mn.解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）是代数式；（2）、（3）、（7）、（9）不是.3例2：根据下列语句列代数式.（1）x与y的和的47；（2）x与y的47的和.解：（1）4()7xy；（2）47xy.例3：说出下列代数式的意义.（1）52a；（2）1(5)2a；（3）2cab；（4）2cba；（5）2()ab；（6）22ab.解：（1）a的一半与5的差；（2）a与5的差的一半；（3）2c除以a与b的和的商；（4）2c除以a的商与b的和；（5）a与b差的平方；（6）a的平方与b的平方的差练习：1.用代数式表示：（1）汽车每小时行驶60千米，t小时行驶60t千米；（2）哥哥今年a岁，比妹妹大b岁，妹妹今年（ab）岁；（3）n行数一共有m颗，平均每行树有mn棵；（4）某件商品原价x元，春节期间以8折出售，则打折后售价为80%x元；（5）x与y和的平方的14倍表示为27()4xy.2.甲、乙两地之间公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走v千米，用代数式表示：（1）某人从甲地到乙地需要走多少小时？（2）若每小时减少2千米，需要多少小时？（3）减速后比原来慢多少小时？解：（1）要走100v小时；（2）需要1002v小时；（3）比原来慢（1001002vv）小时.3.一项工程，甲队单独完成需用a天，乙队单独完成用b天，若两队全做，完成这项工程共需多少天？解：共需111ab天.4.某音像社对外出租光碟的收费方法是：每张光碟在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光碟在租出的第n天(n是大于2的自然数)应收租金多少元？解：应收租金(0.60.5n)元.注意：代数式的书写规范：（1）代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，“×”号不能省略，若是数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常乘号写作“·”或省略不写.如ab写成ab或ab.4（2）数字与字母相乘时，将数字写在字母前面（1省略不写）.如5a一般不写成5a；1a写成a.（3）表示字母与分数的积时，若分数是带分数要化成假分数.如a211一般写成a23.（4）代数式中出现的相除关系、比的关系，一般按照分数的写法来写.如yx2写作yx2.（5）表示几个字母相乘的积一般按26个字母顺序书写.如ba一般写成ab.（6）当用含字母的代数式表示一个有单位的结果时，单位名称只要写在答案中（列式时不必写出），当结果加减关系时，要用括号把整个式子括起来，若代数式中含有“＋、﹣”运算符号，一般要将整个代数式括在括号里，再写上单位名称，并要注意单位写法的规范化.如22m人不能写成22m人.例题：下列式子中，符合代数式书写要求的有__③、⑥、⑦____.①3ay；②2ba231；③422ba；④8ba；⑤ba千克；⑥22ba；⑦60%x.知识点3代数式的值1.代数式的值的含义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫代数式的值.注意：（1）“用数值代替代数式里的字母”的含意，一般说来，一个代数式的值不是固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化.即同一个代数式在所含字母取不同值时的代数式的值是不相同的.（2）代数式里的字母可以取不同的值吗，但所取的值必须使代数式和它所表示的实际量有意义.（3）代数式中的字母各取一个确定的数时，代数式的值才随之确定.（4）给出一个含字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，要先对给出的代数式或求值的代数式先进行适当变形.（5）同一个字母在不同的代数式中代表不同的含义，即使取值相同，也不一定能使代数式的值一样.2.求代数式的值求代数式值的一般步骤：（1）代入：代数式里有多个字母时，代入值时不要混淆，而且必须规范书写：①写明字母的取值，即“当……时”；②写明所要求值的代数式.这样写可完整体现代数式指明的运算顺序，也便于检查.（2）计算：运算时，要分清运算的种类，还要注意运算的顺序.注意：将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或者括号，如数字间相乘要加入乘号，当幂的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号．例1：根据下面a的值，求代数式32231aaa的值.5（1）2a；（2）12a；（3）32a.解：（1）原式=29；（2）原式=12；（3）原式=14.例2：当2a，1b，3c时，求下列各代数式的值：（1）24bac；（2）222222abcabbcac；（3）2()abc.解：（1）原式=25；（2）原式=4；（3）原式=4.例3：已知4a与2ab互为相反数，求代数式323210()8()9()7()ababbaba的值.解：原式=180练习：1.某企业去年的产值是a亿元，今年比去年增长了10％，如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的产值是2亿元，那么明年的产值是多少亿元？解：（1）2(110%)1.21aa亿元；（2）2.42亿元.2.已知4xyxy，求代数式4xyxyxyxy的值.解：原式=3.3.若代数式2237xy的值是8，那么代数式2469xy的值是（B）A.10B.11C.0D.无法计算4.当1x时，代数式31pxqx的值是2001，则当1x时，代数式31pxqx的值为（A）A.1999B.2000C.2001D.19995.为了刺激消费，有关部门规定，私人购买耐用消费品，不超过其价格的50%的款项可以用抵押的方式向银行贷款，蒋老师欲购买一辆轿车.他现在的全部积蓄为p元，只够购车款的60%，则应贷款多少元？若6p万元，则应贷多少钱？解：应贷款23p元；当6p时，应贷4万元.知识点4整式的概念1.单项式（1）单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）.如：代数式3a、mn、2x、2、，它们都是单项式.（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.6（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.注意：①关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是1或1时，通常省略不写.②关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，如：2，0.5，13等，这些单项式叫做“零次单项式”.2.多项式（1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.（2）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.如：多项式2232xx共有三项，分别是22x，3x，2；其中常数项是2.注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与多项式的次数区分开.（4）多项式的降（升）幂排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列.（5）整式：单项式和多项式统称为整式.注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.例1：下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？335x，43ab，23xy，abc，12，232ab，21a，23ab，2321xx，3x.解：单项式：335x，23xy，abc，12；多项式：43ab，232ab，21a，23ab，2321xx.整式：335x，43ab，23xy，abc，12，232ab，21a，23ab，2321xx.例2：指出下列各单项式的系数和次数：215x，37xyz，a，3459xy.解：215x系数15，次数2；37xyz系数37，次数3；a系数1，次数1；3459xy系数59，次数7.例3：多项式44322315352yxxyxyxy是几次几项式？并按字母x的降幂排列和字母y的升幂排列.解：五次五项式；按字母x的降幂排列为：43232413552xxyxyxyy；按字母y的升幂排列为：43223413552xxyxyxyy.练习：