数学：1.2.3《简单复合函数的导数》

简单复合函数的导数为常数）(x)x)(2(1'1)a0,lna(aa)a)(3(x'x且1)a,0a(xlna1)xlog)(4('a且sinx(8)(cosx)'e)e)(5(x'xx1(6)(lnx)'cosx)sinx)(7('基本求导公式:知识回顾：)(0,))(1(为常数特殊的：CCkbkx法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：).()(])()([xgxfxgxf法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数).()()()(])()([xgxfxgxfxgxf法则3:)).((])([为常数CxfCxCf法则4:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：)()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中复合函数:)(ufy)(xu由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．)]([xfy目前我们所研究的简单复合函数的导数仅限于形如f（ax+b）的复合函数例1．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a，b为常数，a≠0)，求.dydx解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分别有改变量△u，△y，由yyuxux得000limlimlimxuxyyuxux而0lim'()xuuxax所以[()]'udyafudx再将u=ax+b代入上式便得到dydx仅限于形如f（ax+b）的复合函数建构数学•对于一般的复合函数，结论也成立。•复合函数的求导法则•复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即一般地，我们有u=ax+b时，有ayyux''即：若y=f(u),u=ax+b，则xuxuyy'''xuxuyy'''求函数的导数。2(32)yx方法一：22[(32)](9124)1812xyxxxx问题探究：2(32)yx2()2uyuu(32)3xuxxuxuyy'''方法二：2yu32ux看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得从而有12183)23(232xxuuyxu将函数；问题探究：考察函数的导数。xy2sinxxxycossin22sin:一方面xxxxxxxxxx2cos2sin2cos2)(cossin2cos)(sin2)cossin2()2(sin22xyxuxuyy'''另一方面：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得从而有x2cos2xy2sinuysin看作是函数和函数xu2uuyucos)(sin2)2(xux将函数2)(cosuuyxu分解求导相乘回代例2．求下列函数的导数（1）5(53)yx解：（1）y=(5x+3)5，令u=5x+3，则y=u5，所以554[(53)]'5()'55uxuu=25(5x+3)4（2）)1ln(2xy解：（2）y=ln(x2+1)令u=x2+1，则y=lnu，所以y’=·(2x)1u221xx（3）32xey解：y=e－2x－3令u=－2x－3，则y=eu，所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3.（4）sin(2)3yx解：令u=2x+3则y=sinu'[sin(2)]'2(sin)'3uyxu2cos2cos(2)3ux例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1),且在点(2，－1)处与直线y=x－3相切，求a，b，c的值.解：函数y=ax2+bx+c的导数y’=2ax+b，由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f’(2)=1，142141abcabcab解得3119abc练习题1．函数y=(5x－4)3的导数是（）（A）y’＝3(5x－4)2（B）y’＝9(5x－4)2（C）y’＝15(5x－4)2（D）y’＝12(5x－4)2C2．函数y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是（）（A）y’=Asin(ωx+φ)（B）y’=－Asin(ωx+φ)（C）y’=Aωcos(ωx+φ)（D）y’=－Aωsin(ωx+φ)D3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（）（A）y’=cos(x2+1)－sin3x（B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x（C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x（D）y’=cos(x2+1)+sin3xB4．函数y=(1+cosx)3是由两个函数复合而成．y=u3,u=1+cosx5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程是.y=1