数列高考知识点归纳(非常全!)[1]

1数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()nafn奎屯王新敞新疆2、等差数列1、定义当nN,且2n时，总有1,()nnaadd常，d叫公差。2、通项公式1(1)naand1）、从函数角度看1()nadnad是n的一次函数，其图象是以点1(1,)a为端点,斜率为d斜线上一些孤立点。2）、从变形角度看(1)()nnaand,即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。又11(1),(1)nmaandaamd,相减得()nmaanmd，即()nmaanmd.若nm，则以ma为第一项，na是第n-m+1项，公差为d；若nm，则ma以为第一项时，na是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看若{}na是等差数列，则12(2)pqaaapqd，12(2)mnaaamnd,因此有如下命题：在等差数列中，若2mnpqr,则2mnpqraaaaa.3、前n项和公式由1211,nnnnnSaaaSaaa，相加得12nnaaSn，还可表示为1(1),(0)2nnnSnadd，是n的二次函数。特别的，由1212nnaaa可得21(21)nnSna。3、等比数列1、定义当nN,且2n时，总有1(0)nnaqqa,q叫公比。22、通项公式：11nnmnmaaqaq,在等比数列中，若2mnpqr,则2mnpqraaaaa.3、前n项和公式:由12231,nnnnnSaaaqSaaaa，两式相减，当1q时，11(1),(1)11nnaaqaqSqqq；当1q时，1nsna。关于此公式可以从以下几方面认识：①不能忽视11(1)11nnaaqaqSqq成立的条件：1q。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如，公差为d的等差数列{}na，212nnnSaxaxax，则231121nnnnnxSaxaxaxax，相减得211(1)nnnnSxaxdxdxax，当1x时，111(1)(1)1nnnndxxSxaxaxx，12112(1)1(1)nnnnaxaxdxxSxx当1x时，121(1)2nnnndSaaana；3）从函数角度看nS是n的函数，此时q和1a是常数。4、等差与等比数列概念及性质对照表名称等差数列等比数列定义1,()nnaadd常211(*)nnnnaaaanN1,()nnaqqa常，211(*)nnnnaanNaa通项公式1(1)()nmaandanmd变式：1(1)naand11.nnnmmaaqaq性质22.mnpqrmnpqraaaaa(0)d可逆22().mnpqrmnpqraaaaa(q1可逆)中项22.mnrmnraaa22().mnrmnraaa单调性0d时增10,1aq或10,01aq增；30d时常数列0d时减10,1aq或10,01aq时减；1q时常数列，0q时摆动数列前n项和112(1),(0)2nnaaSnnnnadd（推导方法：倒加法）1(0)nsnad11(1)1,(1)1nnaqSqaaqqq（推导方法：错位相消法）1(1)nsnaq结论1、{}na等差,公差d，则{}nkab等差公差kd；子数列*2,,,,,()kkmkmknmaaaamN等差,公差md;若{}nk等差，公差1d，则{}nka等差，公差1dd。{}na等比,公比q，则{}nka等比，公比q;2{}na等比,公比2q;{}na等比,公比q。子数列2442,,,naaaa等比，公比2q;若{}nk等差,公差d,则{}nka等比,公比为dq。2、{}na等差,公差d则1{}nnaa等差，公差2d;11{}nnnaaa等差,公差3d.232,,kkkkkSSSSS等差,公差2kd,且323().kkkSSS即连续相同个数的和成等差数列。{}na等比,公比q,则1na等比，公比1q;11{}nnnaaa等比，公比3q；11{}nnnaaa等比，公比q;232,,kkkkkSSSSS等比，公比kq，（当k为偶数时，0kq）。3、{}na等差.公差.nmaadnm0.mnmnSSS,().nmSmSnSmn{}na等比，公比.nnmmaqa4、等差{}na共2n项，则,QQnd偶奇1nnQaQa偶奇等差{}na，共2n+1项，则1321()(1)nQQaaaq偶奇=21(1)1naqq2421321.nnQaaaqQaaa偶奇41(),;1nQnQQaQn偶奇偶奇中5、{}na等差1nnaad12nnaaSn2nSAnBnnaknb21.21nnSan{}na等比,公比q11nnaaq11(1)11nnnaaqaqSqq1,(0,1).nnSaaa联系1、各项不为0常数列，即是等差，又是等比。2、通项公式11,(1),(2){nnSnnSSna.3、{}na等差，公差d，0,1cc,则12,naaaccc,即{}nac等比，公比dc.4、{}na等比，公比q,0na(0,1)aa,12log,log,log,naaaaaa即{log}naa等差,公差logqa.5、{}na等差,{}nb等比,则{}nnab前n项和求法，利用错位相消法6、求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如1()nnaafn递推数列的基本方法，其中数列{()}fn可求前n项和，即1211()()nnnaaaaaa；累乘法是求形如1()nnagna递推数列通项公式的基本方法，其中数列{()}gn可求前n项积，即321121,(0)nnnaaaaaaaaa.第一节等差数列的概念、性质及前n项和题根一等差数列{an}中，69121520aaaa，求S20[思路]等差数列前n项和公式11()(1)22nnaannnSnad：1、由已知直接求a1，公差d.2、利用性质qpnmaaaaqpnm[解题]由69121520aaaa，615912120aaaaaa，得1202()20aa，512010aa，120()201002naaS。[收获]灵活应用通项性质可使运算过程简化。[请你试试1——1]1、等差数列{an}满足121010aaa，则有（）A、11010aaB、21000aaC、3990aaD、5151a2、等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求13S。第1变求和方法——倒序相加法[变题1]等差数列{an}共10项，123420aaaa，12360nnnnaaaa，求Sn.[思路]已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想Sn公式推导方法。[解题]已知123420aaaa，12360nnnnaaaa，又14()80naa，得120naa，1()201010022nnaanS，[收获]1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：qpnmaaaaqpnm，快捷准确；3、求出1naa后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。[请你试试1——2]1、等差数列{an}共2k+1项，所有奇数项和为S奇，所有偶数项和为S偶，求S奇：S偶的值。2、等差数列{an}前n项和为18，若1S3,123nnnaaa,求项数n.3、求由1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。4、求和122nnnnnSnCCC。第2变已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和[变题2]在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(mn)，求Sn+m的值。[思路],,mmnSSSn下标存在关系：m+n=m+n,这与通项性质qpnmaaaaqpnm是否有关？[解题]由Sn=a,Sm=Sn+an+1+an+2+……+am=b得an+1+an+2+……+am=b-a,即abnmaamn)(21，得nmabaamn21由(n+1)+m=1+(n+m),得an+1+am=a1+am+n故).()(2)(211nmnmabnmaanmaaSmnnmnm6[请你试试1——3]1、在等差数列{an}中，15S6，55S9，求S15。2、在等差数列{an}中，1S3，3S9，求S12。第3变已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和[变题3]在等差数列{an}中，20S10，40S20，求S30[思路]由2030,,SSS10寻找102030,,SSSSS1020之间的关系。[解题]设数列{an}公差为d，101210Saaa，2010111220SSaaa，3020212230SSaaa,201010()1010SSSd,30202010()()1010SSSSd，所以102030,,SSSSS1020成等差数列，公差100d,于是2010302()()SSSSS1020，得30203()32060SSS10。[收获]1、在等差数列{an}中，102030,,SSSSS1020成等差数列，即1210aaa，111220aaa，212230aaa，……，成等差数列，且30203()SSS10。3、可推广为535()nnSSS2n，747()nnSSS3n，……，(21)(21)[]knknSkSS(k-1)n。[请你试试1——4]1、在等差数列{an}中，123aa，346aa，求78aa2、在等差数列{an}中，121010aaa，11122020aaa，求313240aaa3、在等差数列{an}中，20S10，30S20，求S50及S100。4、数列{an}中，San，Sb2n，求S3n。5、等差数列{an}共有3k项，前2k项和25S2k，后2k项和75S2k，求中间k项和S中。第4变迁移变换重视Sx=Ax2+Bx的应用[变题4]在等差数列{an}中，Sn=m,，Sm=n,(mn)，求Sn+m的值。[思路]等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，若所求问题与1,ad无关时，常设为S=An2+Bn形式。[解题]由已知可设Sn=An2+Bn=mSm=Am2+Bm=n,两式相减，得A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n,又mn,所以()1AnmB，得2()()()[()]()mnSAmnBmnmnAmnBmn。[收