二面角的求法_ppt

23°26´66°34´地球轨道面(黄道平面)南极北极↓↑1、掌握二面角的定义法；2、掌握二面角的三垂线法；3、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面积法;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:复习:l2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角的平面角:ABPl二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0180二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1?ABCDA1B1C1D1例1、如上图，长方体AC1中，AB=3，BC=1，CC1=3，求①平面A1BC与平面ABCD②平面C1AB与平面ABCD所成二面角的大小？解∵AB⊥BC，A1B⊥BC①连接A1B、D1C，∴∠A1BA就是二面角A1-BC-A的平面角，又∵在Rt△A1AB中tan∠A1BA=A1A/AB=333∴∠A1BA=30。∴二面角A1-BC-A为30。。②连接C1B、D1A，∵BC⊥AB，BC1⊥AB∴∠C1BC就是二面角C1－AB-C的平面角，又∵在Rt△A1AB中tan∠C1BC=C1C/BC=∴∠C1BC=60。∴二面角A1-BC-A为60。一、几何法：1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB2、射影面积法:如图所示，AD平面M，设AHD=是二面角A-BC-D的平面角，由cos=AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：ABCDHMcosDBCABCSSSS射练习1、已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；（3）求二面角P一EC一D的大小．?(本题满分12分)(2010年高考江西卷)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23.(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．练习2【解】法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.2分所以MO∥AB，A、B、O、M四点共面．延长AM，BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.4分由题可得OB＝MO＝3，MO∥AB，则EOEB＝MOAB＝12，EO＝OB＝3，所以EB＝23＝AB，故∠AEB＝45°.6分(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，设为θ.8分因为∠BCE＝120°，所以∠BCF＝60°.所以BF＝BC·sin60°＝3，所以tanθ＝ABBF＝2，sinθ＝255.所以所求二面角的正弦值是255.12分?例2、已知二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4。求二面角－l－的大小。lA.DO作业、如图，△PAB是边长为2的正三角形,AD⊥平面PAB,BC∥AD,AD＝BC＝.又点N为线段AB的中点，点M在线段AD上，且MN⊥PC.(1)求线段AM的长；(2)求二面角P－MC－N的大小.2NABMPCD练习2、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2,BC=CD=1.(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值.DCBA解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而22221152().221115.224AGACCGAGCDACDFCDAGDFAC由得2213,3,.22ABCRtABCABACBCSABBC中故四面体ABCD的体积15.38ABCVSDF例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO一、几何法：1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法:ABOa4、射影面积法:如图所示，AD平面M，设AHD=是二面角A-BC-D的平面角，由cos=AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：ABCDHMcosDBCABCSSSS射几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。