第4章-方差分析

第一节方差分析概述一、方差分析的意义u、t检验——检验两个样本均值的差异显著性的统计方法（推断两个总体均值是否相等）。H0：μ＝μ0（μ1＝μ2）两个以上的样本平均数资料，如品种数据AxA1、xA2、…、xAnBxB1、xB2、…、xBnCxC1、xC2、…、xCnDxD1、xD2、…、xDnExE1、xE2、…、xEnxAxBxCxDxEx1024525C对上述资料的差异显著性检验仍用u、t检验存在如下弊端：①计算工作量大②分析结果受抽样误差影响大。因为，若偏大（），t就偏小（），此时易犯第二（）类错误。1212xxxxts12xxs小大一nsssxx222121方差分析——检验两个以上样本平均数差异显著性的统计方法。方差分析的作用：1、检验各处理平均数间的差异显著性，以帮助判断各处理的优劣2、在多因素试验中，判断出各因素对试验指标影响的大小和各因素之间交互效应是否存在及其影响大小，以确定最佳水平组合。二、方差分析的基本思路.1niijjxx..iixxn1.x2.x样号处理12…n处理总和处理均值1x11x12…x1nx1.2x21x22…x2nx2.……………kxk1xk2…xknxk..kx...111knkijiijixxx全试验总和...1..kiixxxnkk总均值处理变异试验总变异误差变异如果处理变异不存在，则说明各处理均值之间差异不显著；否则，为差异显著。所以，各处理均值差异显著性检验主要是通过变异的分析来作出推断的。前述，变异大小由方差S2来度量，故可由总方差→总变异处理方差→处理变异误差方差→误差变异2TS2tS2eS22()1xxssSdfn平方和划分式SST＝SSt＋SSe自由度划分式dfT＝dft＋dfe总平方和处理平方和误差平方和总自由度处理自由度误差自由度其中dfT＝nk－1，dft＝k－1，dfe＝k（n－1）于是但≠＋kiitxxnSS12...)(kinjiijexxSS112.)(TTTdfSSS2tttdfSSS2eeedfSSS22TS2tS2eSkinjijTxxSS112..)(注：不同试验资料，总变异的分解是不同的，因此平方和与自由度的划分式也不同。22etSSF方差之比若比值近于1，则可认为处理变异不存在（均值差异不显著）；若比值远大于1，则可认为处理变异存在（均值差异显著）。比值是否远大于1，需借助概率来说明——F检验。22etSS22etSS三、方差分析的基本步骤nkxC2..CxSST2第一步整理资料：计算各项总和与均值第二步计算各项平方和SS与自由度dfCnxSSit2.tTeSSSSSS矫正数第三步列方差分析表作F检验H0:μ1＝μ2＝…＝μkHA：μi不全等（i=1、…、k）变异来源SSdfS2FF0.05F0.01第四步多重比较：F检验中，若F≥，否定H0，接受HA：μi不全等（i=1、…、k）。表明在对平均数中至少有一对差异显著。此时应进一步对每两个平均数作相互比较——多重比较。如果F＜，接受H0：μ1＝μ2＝…＝μk，此时不需再作多重比较。F2kCF多重比较常用方法有：1.最小显著差数（LSD）法2.最小显著极差（LSR）法：又分新复极差法（SSR法）Q检验法第二节方差分析的基本方法一、各处理重复数相等资料的方差分析例1，[例5-2]（单因素完全随机试验资料）k=5n=7处理观察值xij处理总和xi.处理均值鱼类0.31…0.422.750.393贝类0.63…0.704.160.594甲壳类0.69…0.614.290.613藻类1.50…1.439.671.381软体类0.72…0.644.450.636总和x..＝25.32ix划分式：SST＝SSt＋SSedfT＝dft＋dfe第一步整理资料计算：①各处理总和xi.及其均值②全试验总和x..nxxii..第二步计算各项平方和SS与自由度dfSST＝SSt＋SSedfT＝dft＋dfe矫正数317.185732.2522..nkxCdfT＝nk－1＝7×5－1＝34421.464.025.031.0222112CCxSSkinjijT052.4745.416.475.222212.CCnxSSkit4151kdft369.0052.4421.4tTeSSSSSS30434tTedfdfdf第三步列出方差分析表，作F检验其中变异来源SSdfS2FF0.05（4，30)F0.01类型间4.05241.01384.417**2.694.02误差0.369300.012总4.421342tttSSSdf2eeeSSSdf22teSFS查表4F检验的统计推断结果有三种F＜接受不显著当≤F＜，否定H0，处理间差异显著，记＊。F≥否定极显著＊＊05.0F05.0F01.0F01.0F∵F＝84.417＞F0.01（4，30），p＜0.01∴各处理均值间差异极显著，需作多重比较第四步多重比较1、最小显著差数法（LSD法）≥显著前述，，为差异＜不显著≥显著可转化为，为差异＜不显著..ijxixjxxtsttijxxs..jixx前述，为误差方差，为差异标准误。查表所用自由度为误差自由度dfe。ijxxsnsnnnnsnseee221221222eStijxxs令——最小显著差数＝0.05，0.01——显著水准()eijdfxxLSDts查表3而得本例，dfe＝30，查表3得t0.05（30）＝2.042，t0.01（30）＝2.750LSD0.05＝t0.05（30）＝0.120LSD0.01＝t0.01（30）＝0.162ijxxsijxxs059.07012.0222nssexixj多重比较结果的表示方法有二种：⑴梯形表法：类型差数－0.393－0.594－0.613－0.636藻1.3810.988**0.787**0.768**0.745**软体0.6360.243**0.0420.023甲壳0.6130.220**0.019贝0.5940.201**鱼0.393.ix.ix.ix.ix.ix⑵标记字母法:将差异不显著的处理用相同的字母表示，差异显著的处理用不同的字母表示。0.05显著水准上的差异显著性用小写字母表示，0.01显著水准上的差异显著性用大写字母表示。类型藻软体甲壳贝鱼1.3810.6360.6130.5940.393显著性0.050.01abbbABCBB.ix.ix类型差数藻1.3810.988**0.787**0.768**0.745**软体0.6360.243**0.0420.023甲壳0.6130.220**0.019贝0.5940.201**鱼0.393c类型藻软体甲壳贝鱼均值1.381aA0.636bB0.613bB0.594bB0.393cC2.邓肯氏新复极差法（SSR法）：其中，叫均数标准误，叫显著极差，用k，dfe查表8而得。(,)ekdfxLSRSSRs2exssn(,)ekdfSSRk值叫做秩次矩，指将所有平均数按大小次序排序后，被比较的两个平均数之间所包含的平均数的个数（包括被比较的两个平均数）本例，＝0.012，n＝7，k＝5、4、3、2，dfe＝30，α=0.05，0.01当k＝2时，SSR0.05＝2.89，SSR0.01＝3.89LSR0.05＝SSR0.05＝2.89×0.041＝0.118LSR0.01＝SSR0.01＝3.89×0.041＝0.159其余见下表。2eSxSxS041.07012.02nssexk2345SSR0.052.893.043.123.20SSR0.013.894.064.164.22LSR0.050.1180.1250.1280.131LSR0.010.1590.1660.1710.173品系差数k＝5k＝4k＝3k＝2藻类1.3810.988**0.787**0.768**0.745**软体0.6360.243**0.0420.023甲壳0.6130.220**0.019贝类0.5940.201**鱼类0.393.ix3、Q检验法：其中，是用参数k，dfe查表7而得。(,)ekdfxLSRqs2exssn(,)ekdfq•LSD法在实际工作中常用于作各处理与对照的多重比较•食品科学试验中常用Q检验法作多重比较二、各处理重复数不等资料的方差分析样号处理12…ni样本容量ni处理总和xi.处理均值1…n1x1.2…n2x2.……………………k…nkxk..ix.2x.1x.kx11x21x12x22x1kx2kx11nx21nxkknxkinjijTiCxss112kiinxC12..11kiiTndfkiiitCnxss12.1kdfttTesssssstTedfdfdfF检验同前，多重比较时，差异标准误平均样本容量kiikiikiiknnnn112210)1)(()(jeiejxixnsnss2222etssF),(etdfdfF例2，[例5-3]k＝4品牌酸价xijnixi.A11.6…1.4811.91.49A21.7…1.8612.62.10A30.9…1.579.31.33A41.8…2.2713.81.97总和28x..＝47.6.ix划分式：SST＝SSt＋SSedfT＝dft＋dfe第一步整理资料计算：①各处理总和xi.及其均值②全试验总和x...ix第二步计算各项平方和SS与自由度dfSST＝SSt＋SSedfT＝dft＋dfe矫正数9200.80286.4722..inxC8800.52.25.16.1222112CCxSSkinjijTi271281iTndf8027.278.1373.966.1289.11222212.CCnxSSikit3141kdft0773.38027.288.5tTeSSSSSS24327tTedfdfdf第三步列出方差分析表，作F检验其中变异来源SSdfS2FF0.05（3，24)F0.01品牌间2.802730.93427.287**3.014.72误差3.0773240.1282总5.8800272tttSSSdf2eeeSSSdf22teSFS查表4∵F＝7.287＞F0.01（3，24），p＜0.01∴各处理均值间差异极显著，需作多重比较第四步多重比较(Q检验法)：其中，是用参数k，dfe查表7而得。(,)ekdfxLSRqs(,)ekdfq02nssex9762.6)14(28)7768(28)1)(()(22222112210knnnnkiikiikii本例，＝0.1282，n0＝6.9762，k＝4、3、2，dfe＝24，α=0.05，0.01当k＝2时，q0.05＝2.92，q0.01＝3.96LSR0.05＝q0.05＝2.92×0.1356＝0.396LSR0.01＝q0.01＝3.96×0.1356＝0.537其余见下表。2eSxSxS1356.09762.61282.002nssexk234SSR0.052.923.533.90SSR0.013.964.554.91LSR0.050.3960.4790.529LSR0.010.5370.6170.666品系差数0.050.01k＝4k＝3k＝2A22.100.77**0.61*0.13A41.970.64**0.48*A11.490.16A31.33.ixaabbAAABB第三节方差分析的基本假定与数据转换一．方差分析的基本假定1.处理效应与环境效应是可加的——可加性模型处理可加性资料