9导数在研究函数中的应用---难---讲义

导数在研究函数中的应用知识讲解一、利用导数研究函数的单调性1.函数()yfx在区间()ab，内可导1）如果在()ab，内，'()0fx，则()fx在此区间是增函数，()ab，为()fx的单调增区间．2）如果在()ab，内，'()0fx，则()fx在此区间是减函数，()ab，为()fx的单调减区间．3）如果在()ab，内，'()0fx恒成立，则()fx在此区间是常函数，不具有单调性．注：单调区间是指单调增区间或单调减区间．2.利用导数研究函数单调性的基本步骤1）确定函数的定义域；2）求导数'()fx，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由'()0fx（或0）解出相应的x的取值范围．当'()0fx时，()fx在相应的区间内是单调增函数；当'()0fx时，()fx在相应的区间内是单调减函数．一般需要通过列表，写出函数的单调区间．注：①单调区间不能用“”连接，应用“，”隔开或用“和”连接．②“()fx在区间()ab，内单调递减”可转化为“在区间()ab，内'()0fx„且不恒为0”或“区间()ab，是()fx减区间的子集”二、利用导数研究函数的极值、最值1.极大值点：已知函数()yfx，设0x是定义域内任一点，如果对0x附近的所有点x，都有0()()fxfx，则称函数()fx在点0x处取极大值，记作0()yfx极大．并把0x称为函数()fx的一个极大值点．2.极小值点：如果在0x附近都有0()()fxfx，则称函数()fx在点0x处取极小值，记作0()yfx极小．并把0x称为函数()fx的一个极小值点．3.极值和极值点：极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．注：极值点是个数，而不是个坐标．4.求函数()yfx的极值的方法：1）求函数()fx的定义域2）求导数()fx；3）求方程()0fx的所有实数根；4）考察在每个根0x附近，从左到右，导函数()fx的符号如何变化．如果()fx的符号由正变负，则0()fx是极大值；如果由负变正，则0()fx是极小值．如果在()0fx的根0xx的左右侧，()fx的符号不变，则0()fx不是极值．5.一般地，求函数()yfx在[]ab，上的最大值与最小值的步骤：1）求出函数()yfx在()ab，内所有极值；2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6.最值与极值的区别与联系1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言；2）最值和极值都不一定存在；3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．三、利用导数解决某些实际问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题．2.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为：1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式()yfx；2）利用导数求出函数()yfx的最值；3）根据实际问题的意义给出答案四、用导数进行分类讨论1.利用导数求单调区间的步骤1）确定函数的定义域；2）求导数'()fx，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；3）由'()0fx（或0）解出相应的x的取值范围．当'()0fx时，()fx在相应的区间内是单调增函数；当'()0fx时，()fx在相应的区间内是单调减函数．一般需要通过列表，写出函数的单调区间．2.为什么要分类讨论？在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时，一般含有参数的导数往往需要分类讨论．原因在于，求单调区间的第（3）步中会去解一个含参的不等式．或者，是题目给出的是区间端点含有参数．五、如何进行分类讨论？1.先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！考试中常碰到的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2.再观察一下区间（定义域）和参数范围．3.结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略：1）一元一次不等式型：①参数在一次项系数上：如：'()e(1)0xfxax，xR，aR（i）当0a时，'()0xfxe，()fx增区间为R；（ii）当0a时，由'()0fx，得1xa，()fx增区间是1()a，；由'()0fx，得1xa，()fx减区间是1()a，．（iii）当0a时，由'()0fx，得1xa，()fx增区间是1()a，；由'()0fx，得1xa，()fx减区间是1()a，．②参数在常数项上：如：'()e()0xfxxa，0x，aR（i）当0a…时，'()0fx恒成立，()fx增区间为(0)，；（ii）当0a时，由'()0fx，得xa，()fx增区间为()a，；由'()0fx，得xa，()fx增区间为(0)a，．2）一元二次不等式型：①参数在二次项系数：第一种，能因式分解型；如：'()(1)()0fxaxxa，xR，aR当0a时，'()0fx恒成立，()fx为常函数；当0a时，由'()0fx，得1x或xa，()fx的增区间是(1)，，()a，；由'()0fx，得1xa，()fx的减区间为(1)a，．当0a时，（i）1a，2'()(1)0fxx„且不恒为0，()fx减区间为()，；（ii）1a时，由'()0fx，得1ax，()fx的增区间是(1)a，；由'()0fx，得xa或1x，()fx的减区间是()a，，(1)，．（iii）10a时，由'()0fx，得1xa，()fx的增区间是(1)a，;由'()0fx，得1x或xa，()fx的减区间是(1)，，()a，．注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱．第二种，不能因式分解型；如：2'()10fxaxx，xR，aR当0a时，由'()10fxx，得1x，()fx的增区间是(1)，；由'()10fxx，得1x，()fx的减区间是(1)，当0a时，14a（i）当0„时，即14a…2'()10fxaxx…恒成立且不恒为0，()fx的增区间是()，；（ii）当0时，即104a由2'()10fxaxx，得1142axa或1142axa()fx的增区间是114()2aa，，114()2aa，;由2'()10fxaxx，得11411422aaxaa()fx的减区间是114114()22aaaa，．当0a时，140a由2'()10fxaxx，得11411422aaxaa()fx的增区间是114114()22aaaa，．由'()0fx，得1142axa或1142axa()fx的减区间是114()2aa，，114()2aa，．②参数不在二次项系数上：第一种，能因式分解型如：'()(1)()0fxxxa，xR，aR当1a时，2'()(1)0fxx…恒成立且不恒为0，()fx增区间为()，；当1a时，由'()0fx，得1x或xa，()fx增区间为(1)，，()a，；由'()0fx，得1xa，()fx减区间为(1)a，．当1a时，由'()0fx，得xa或1x，()fx增区间为()a，，(1)，；由'()0fx，得1ax，()fx减区间为(1)a，．第二种，不能因式分解型如：2'()10fxxax，xR，aR24a当240a„，即22a剟时，2'()10fxxax恒成立且不恒为0，()fx增区间是()，．当240a，即2a或2a时，由2'()10fxxax，得242aax或242aax()fx增区间是24()2aa，，24()2aa，；由'()0fx，得224422aaaax()fx减区间是2244()22aaaa，．3）分式不等式型:这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决．4）指数不等式型如：'()e0xfxa，xR，aR当0a…时，'()0fx恒成立，()fx增区间为()，；当0a时，由'()e0xfxa，得ln()xa，()fx增区间为(ln())a，；由'()0fx，得ln()xa，()fx减区间为(ln())a，5）对数不等式型如：'()ln0fxxa，0xaR，由'()0fx，得eax，()fx增区间是(e)a，；由'()0fx，得0eax，()fx减区间是(0e)a，．六、函数的零点1.零点的概念：对于函数()()yfxxD，把使()0fx成立的实数x叫做函数()()yfxxD的零点．2.有零点的推导：函数()yfx有零点()0fx有根函数()yfx与x轴有交点．3.有根的推导()fxk有几个根函数()yfx与yk图象有几个交点函数()()gxfxk图象与x轴有几个交点．4.推导：方程()()fxgx有几个根函数()yfx与函数()ygx图象有几个交点函数()()()hxfxgx的图象与x轴有几个交点．5.零点个数：三次函数32(0)yaxbxcxda的零点个数2'32yaxbxc2412bac1）当0„时，'0y…且不恒为0，32(0)yaxbxcxda在R上单调增此时，32(0)yaxbxcxda有且仅有1个零点．2）当0时，()fx有极大值和极小值；①当()0fx极大或()0fx极小时，()yfx有且仅有1个零点；②当()0fx极大或()0fx极小时，()yfx有2个零点；③当()0()fxfx极小极大时，()yfx有3个零点．七、渐近线问题常见的处理方式：①借助函数的零点，将区间进行分段研究；②构造满足题意的用参数表示的自变量．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018•信阳二模）已知定义在R上的函数f（x）=13ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：根据题意，函数f（x）=13ax3+x2+ax+1，其导数f′（x）=ax2+2x+a，若函数f（x）=13ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f′（x）=ax2+2x+a=0有2个零点，则有△=4﹣4a2＞0，且a≠0，解可得：﹣1＜a＜1，且a≠0，即实数a的取值范围是（﹣1，0，（0，1）；故选：D．2．（2018•上城区校级模拟）定义在R上的可导函数f（x），已知y=ef'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：由题意如图f'（x）≥0的区间是（﹣∞，2）故函数y=f（x）的增区间（﹣∞，2）故选：B．3．（2018•柳州一模）设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（1𝑒，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（1𝑒，e）B．（﹣e，﹣1𝑒）C．（﹣∞，1𝑒）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣1𝑒，+∞）【解答】解：函数y=f（x）=x+alnx在区间（1𝑒，e）有极值点⇔y′=0在区间（1𝑒，e）有零点．f′（x）=1+𝑎𝑥=𝑥+𝑎𝑥．（x＞0）．∴𝑓′(1𝑒)⋅𝑓′(𝑒)＜0，∴(1𝑒+𝑎)(𝑒+𝑎)＜0，解得−𝑒＜𝑎＜−1𝑒