手算开平方详解

手算开平方以√6为例。稍加估算就知道0√6-21/2三边平方得010-4√61/4，此时10/4√610/4-1/4/4，即2.5√52.5-1/4/4再平方，0196-80√61/16，此时196/80√6196/80-1/16/80即2.45√22.449218……每平方一次，小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位），这是相当好的，可是你将要面对恐怖的天文数字。另一种优化的方法:佩尔方程与渐近分数结合上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分数，如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点。以√5为例，考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解（x,y)，x/y都是√5的渐近分数。假设其中一组解是(x,y)，再设x'-√5y'=(x-√5y)n，同样地x'/y'也是√5的渐近分数。上面两条结论的证明在此略去。根据上面结论，而且不难找到9^2-5*4^2=1，于是(9-4√5)^2=161-72√5，√5约等于161/72=2.236111(161-72√5)^2=51841-23184√5,√5约等于51841/23184=2.2360679779158从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。如上面的51841/23184，误差小于1/231842=1.8605×10^-9但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数，把√d化成连分数。把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以到网上找找看。泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略。迭代法假设我们已经有一个较好的初值x,x²≈n,设修正值为a,即(x+a)²≈n,x²+a²+2ax≈n,忽略很小的a²，即x²+2ax≈n，从而a≈(n-x²)/(2x)，x+a≈(n+x²)/(2x)把(n+x²)/(2x)的值从新代替x，将得到更好的精确值，下面证明0≤|((n+x²)/(2x))²-n||x²-n|现在如果其中一个迭代值x√n那么(n/x+x)/2(x²/x+x)/2=x又(n/x+x)/2≥√n（基本不等式）于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。类似地，如果x√n则n/x+x≥√n回到前一种情况，如果x很接近0，这时候结论可能会不成立，所以结论要修正一下-_-~~,但是得到新的迭代值后一齐正常，不影响迭代。可以说，对任何正数作初值依然能存在极限。这极限自然是√n。在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简√1024，因为1024=2^10,所以。√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚：比如求√37625.(如图）①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图）④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方⑥继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）以57578为例，首先从个位起两位两位的划分这个数，得到5,75,78。然后，对于第一个5，进行试商，商数的平方要小于5，但又必须是最大的，则此时应商2。再用5减2的平方，得1，再将后面的75降下来与1构成整体，得175，再用20成以上一步商的2（即40）作除数来试商（假定这个商是a），则必须满足(40+a)*a175但又是最大的，所以a=3。再用175减去(40+a)*a得46，再用46与后面的78结合，形成一个新数4678，再用20乘以前两次所得的商组成的数23（即460）作除数来试商（假定这个商是b），必须满足(460+b)*b4678，但又是最大的，所以b=9，再用4678减去(460+b)*b得457。再用457与小数点后面的两个零组成新数45700……用笔开平方是个十分复杂的运算，而且凭着人的耐心也试不出5个以上的商，因为被除数与除数都越来越大。所以，建议还是用计算器好。不过，万一是在考试中，不能用计算器的话，还是应掌握一些用笔开平方的技巧，试出两三位有效数字是不成问题的。1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。以65536为例，其具体计算过程如下：转载请注明本文出自“风中落叶”hi.baidu.com/xiamengyStep1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。Step2：从高位开始计算开方。例如第一步为6，由于22=469=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求，本步的商必须是x。因为45×5=22525546×6=276，所以本步商5。Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。任意正整数均可表示成转载请注明本文出自“风中落叶”hi.baidu.com/xiamengy则正整数M开方计算得到的就是A。根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。因为计算开平方问题上，对于数值，正负是无所谓的。因此不妨假设A为任意正实数。即可记(即用科学计数法表示，例如134.87可以表示为1.3487×102=(1+3×0.1+4×0.01+8×0.001+7×0.0001)×102)转载请注明本文出自“风中落叶”hi.baidu.com/xiamengy如此，每一步的开方余项都用该步的“除数”和“商”表示出来，因此，手开方公式是精确的。再进一步推广，对于更一般的情况，即使开方结果是无理数，或循环小数的，只需令n→∞即可。由于以上证明对任意n均成立，可以推得对于n→∞也相应成立。转载请注明本文出自“风中落叶”hi.baidu.com/xiamengy