行列式的概念.

数学教研室贺丽娟[e-mail]线性代数课程性质：必修教材：线性代数教程林升旭梅家斌编考核方式：20%平时成绩+80%闭卷考试成绩教学方法：预习，精讲，课上课下练习辅导（课堂提问）1、线性代数的主要任务是:为n元线性方程组(n元一次方程组)构建求解的统一理论,并规范求解方法.一、任务、目的和对象123123123102210213512xxxxxxxxx12122427xxxx1231231231233321,,.xxxxxxxxx123123,,.xxx1232,.xx123123123104515210213512xxxxxxxxx无解123010,,.xxx123021,,.xxx123032,,.xxx12301,,.xxcxc唯一解无穷多解求解理论应能明确回答：⑴决定方程组有解和无解的判别准则是什么？⑵有解时，是否存在能区分解唯一与解无穷多的判别准则?准则存在的话,具体内容是什么?⑶解无穷多时，怎样以有限的形式表达无穷多的解？⑷方程组的求解是否存在统一的规范格式?这种格式能否自动断言方程组的解属于何种类型(无解，唯一解还是无穷多解)？一、任务、目的和对象2.线性代数的第二个任务是:利用为规范n元线性方程组的求解而创造的行列式、矩阵与向量等新数学工具,将n元二次型(n元二次齐次函数)标准化并加以分类.一、任务、目的和对象1、寻找类似求根公式那样的求解公式沿此途径发明了名为行列式的数学工具，不仅找到了计算唯一解的求解公式(即Cramer法则)，而且发现了方程组有无唯一解（包括无解和无穷多解两种情况）的判别式。二、问题探寻的途径与成效不足在于，此途径得出的Cramer法则只能笼统地将无解和无穷多解都归结于无唯一解，而无力对二者作出明确的区分。2．对传统的消元求解法进行提炼加工沿此途径发明了名为向量和矩阵的数学工具，不仅解决了方程组有解与无解的判识问题，也解决了有解时如何对唯一解与无穷多解进行区分的问题（即不仅发现了判别方程组是否有解的数量指标，也发现了判别方程组有解时，究竟其解是唯一还是无穷之多的数量指标）。此外，沿此途径还解决了方程组有无穷多解时，无限之多的解如何以有限形式加以表出的问题，进而又发现了方程组求解的规范统一格式，能一步到位地指出方程组各种不同类型的解(包括唯一解、无穷多解和无解)。因此，此途径能全面地形成线性方程组的统一求解理论并最终决定线性代数课程的核心教学内容和基本教学要求所在。二、问题探寻的途径与成效以行列式为主要特色的行列式途径，与以向量和矩阵为主要特色的向量矩阵途径，是两根数学硕果肥肥累累的丰产长藤。行列式、向量和矩阵,虽然仅仅是出于求解线性方程组的局部需要所发明出的特殊数学工具,但这些工具所具有的集成式特点,却使其应用领域远远超出了线性方程组求解的狭窄范围。例如,人们发现,它们还是简洁表述二次型（或多元二次函数）、线性变换和规范其研究的绝妙武器.因此，线性方程组的求解和二次型的化简与标准化问题，也构成了线性代数课程的第二大主题。并且，因之而建立的有限维向量空间与线性变换的理论也相应地纳入到课程的内容之中。第一节行列式的概念一、二阶行列式二、三阶行列式三、余子式与代数余子式四、n阶行列式的定义用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x一、二阶行列式;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.,2212221212211abxaaxaa,1222221212112abxaaxaa引入记号.2112221122211211aaaaaaaaD称D为二阶行列式，也可以记为detijDa11a12a22a21a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD,2221211ababD.2211112babaDb1b2则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx例112123212,21.xxxx阶线组用二行列式求解二元性方程解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0二、三阶行列式111122133121122223323113223333,,.axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111213212223313233,aaaDaaaaaa1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaabab1b2b31112132122231323.aabDaabaab333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa三阶行列式的计算-------对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa11a111213212223313233aaaaaaaaa21a31a12a22a32a2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa11a111213212223313233aaaaaaaaa21a31a12a22a32a练习1计算三阶行列式124221342D练习2求解方程：211123049xx例2计算三阶行列式124221342D解D12(2)21(3)(2)4(4)(3)2(4)(2)2(2)41146322484-141-2-3224例3求解方程：211123049xx解方程左端的三阶行列式2234189212Dxxxx256xx由2560xx解得2x3x或10215D二阶三阶行列式的十字相乘求值法n阶行列式？124221342D1-2-3224111212122212nnnnnnaaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa三、n阶行列式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD11131422313334414344aaaMaaaaaa2222221AM22.M,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1行列式按行（列）展开法则111213212223313233aaaDaaaaaa212122222323aAaAaA推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211例21222323642142037AAA212223236AAA022取第一行元素例4计算行列式277010353D解27013D.27按第一行展开，得2700577103例4计算行列式277010353D解按第二行展开，得22331172D27.1112121222112212nniiiiininnnnnaaaaaaaAaAaAaaan阶行列式的定义其中，Aij为aij的代数余子式(j=1,2,…,n)0532004140013202527102135D例5计算行列式解0532004140013202527102135D1444411023352523102173281023125414235532041401320213521521080上三角行列式12111222000nnnnaaaaaa1122.nnaaa下三角行列式11222112000nnnnaaaaaa1122.nnaaa12.n12n对角行列式特别的，例6?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541