典型环节数学模型与阶跃响应

第四节典型环节数学模型与阶跃响应一、典型环节的数学模型二、传递函数与阶跃响应任何一个复杂的系统都可看成是由一个典型环节组合而成的。掌握这些典型环节的特点就可以方便地分析较复杂系统内部各单元间的关系。第三章自动控制系统的数学模型常见的典型环节包括：比例环节、积分环节、惯性环节、微分环节、振荡环节等。1、比例环节（1）特点：输出量与输入量成正比，无失真和延时；（2）微分方程：式中，K为比例环节的放大系数(3)传递函数：一、二典型环节第三章自动控制系统的数学模型)()()()(tKrtctKrtcKsRsCsG)()()(整理过程：将上式两边取拉氏变换有C(s)=KR(s)整理后得该环节的传递函数G(s)，即KsRsCsG)()()(当r(t)=1(t)时，有sKsRsGsC1)()()(得到c(t)=L-1［C(s)］=K第三章自动控制系统的数学模型（4）比例环节方框图及响应曲线比例环节方框图及响应曲线如图(b)所示。可见,比例环节的输出量能立即响应输入量。（5）常见的比例环节，如电阻分压器、比例运算放大器、齿轮减速器和测速发电机等，如图显示。比例环节是最基本的环节。第三章自动控制系统的数学模型图(a）比例环节方框图；(b）比例环节单位阶跃响应KR(s)C(s)c(t),r(t)c(t)r(t)Kr(t)t10(a)(b)第三章自动控制系统的数学模型图＋－＋TG0R＋－urR1R2uc＋－(a)urR0i1R1i2ucUfn＋－n1z2z1n2n(b)(c)(d)第三章自动控制系统的数学模型2.积分环节(IntegralElement)输出量与输入量对时间的积分成正比的环节称为积分环节，如图(a)所示，其微分方程为dttrTtc)(1)(式经拉氏变换，并整理可得该环节的传递函数为TssRsCsG1)()()(式中，T为积分时间常数。第三章自动控制系统的数学模型当输入量r(t)=1(t)时，输出量C(s)为2111)(1)(TssTssRTssC则输出量响应为tTsCLtc1)]([)(1第三章自动控制系统的数学模型图(a）积分环节方框图；(b）积分环节单位阶跃响应Ts1R(s)C(s)c(t),r(t)10Tc(t)r(t)t(a)(b)第三章自动控制系统的数学模型积分环节的方框图与阶跃响应曲线如上图所示。可见,积分环节的输出量随时间的变化而不断增加，其斜率为1/T。积分环节是过程控制中最重要的环节，常见的积分环节如下图所示。＋－＋0RurR0C1uc(a)储罐LFAUa＋－My(t)rJGn,(b)(c)(d)第三章自动控制系统的数学模型3.理想微分环节(DerivativeElement)输出量与输入量的导数成正比的环节称为微分环节,其微分方程为dttdrTtc)()(式中，T为微分时间常数。经拉氏变换，得该环节的传递函数为TssRsCsG)()()(第三章自动控制系统的数学模型当输入量r(t)=1(t)时，微分环节输出量C(s)为)()]([)(1)()()(1tsCLtcTsTssRsGsC则响应式中，δ(t)为单位脉冲函数。第三章自动控制系统的数学模型图(a）微分环节方框图；(b）微分环节单位阶跃响应TsR(s)C(s)(a)c(t)r(t)t)(tc10(b)c(t),r(t)第三章自动控制系统的数学模型c(t)方框图及阶跃响应曲线如上图中的c(t)所示，c(t)是理想微分环节的单位阶跃响应曲线，其在t=0的时刻，输出c(t)从0→∞，再从∞→0。实际上微分特性总是含有惯性的，实际微分环节的微分方程为TsTsGsdttdrTtcdttdcT1)()()(其传递函数为第三章自动控制系统的数学模型则单位阶跃响应)(1)]([)(111)(/1tesCLtcTsTsTsTssCTtc′(t)的输出量变化曲线如图(b)所示。第三章自动控制系统的数学模型4.惯性环节(InertialElement)含有一个储能元件和一个耗能元件的环节，其输出量与输入量的微分方程为)()()(tKrtcdttdcT式中，T为惯性环节的时间常数；K为惯性环节的放大系数。第三章自动控制系统的数学模型•对上式作拉氏变换并整理，得惯性环节的传递函数G(s)为1)()()(TsKsRsCsG惯性环节的方框图如图(a)所示。第三章自动控制系统的数学模型图(a）惯性环节方框图；(b）惯性环节单位阶跃响应1TsKR(s)C(s)(a)r(t)c(t)c(t),r(t)10.6320Tt(b)第三章自动控制系统的数学模型当输入量r(t)=1(t)时，输出量C(s)为sTsKsRsGsC11)()()(可得其单位阶跃响应为c(t)=L-1［C(s)］=K(1-e-t/T)第三章自动控制系统的数学模型当K=1时，惯性环节的单位阶跃响应曲线如上图(b)所示。对惯性环节的阶跃响应曲线进行分析，可得C(0)=0，C(T)=0.632，C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C(∞)→1。因此，惯性环节在输入量突变时，输出量不能突变，只能随着时间的推移按指数规律变化，这表明该环节具有惯性特点。常见的惯性环节如下图所示。第三章自动控制系统的数学模型图常见的惯性环节＋－ur(t)RC＋－uc(t)C1R1＋－＋0RR0ur(t)uc(t)＋－ur(t)RTJBi(t)L(a)(b)(c)(d)第三章自动控制系统的数学模型5.一阶微分环节(ProportionalDerivetiveElement)一阶微分环节也称比例微分环节，它是由比例环节加微分环节构成的，它的微分方程为)()()(trdttdrTtc式中，T为微分时间常数。对上式作拉氏变换并整理，得传递函数G(s)为1)()()(TssRsCsG比例微分环节的方框图如下图(a)所示。图(a）比例微分环节方框图；(b）比例微分环节单位阶跃响应Ts＋1R(s)C(s)(a)r(t)10ttc(t)c(t)1c(t)＝r(t)(b)0第三章自动控制系统的数学模型当输入量r(t)=1(t)时，即R(s)=1/s，有输出量C(s)为sTsTssRsGsC11)1()()()(则其单位阶跃响应为c(t)=L-1［C(s)］=Tδ(t)+1比例微分环节的响应曲线如上图(b)所示。第三章自动控制系统的数学模型一阶微分环节的实例如下图所示。分析该环节，不难得到其传递函数为)1()1()()()(00001sTKsCRRRsUsUsGrc其中，K=-R1/R0为比例放大系数；T0=R0C0为微分时间常数。第三章自动控制系统的数学模型图一阶微分环节R10RR0C0ur(t)uc(t)＋－＋第三章自动控制系统的数学模型6.振荡环节(OscillatingElement)振荡环节也称二阶环节，它的微分方程通常表达为)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT式中,T为振荡环节的时间常数；ζ为振荡环节的阻尼比（又称阻尼系数）。第三章自动控制系统的数学模型对上式作拉氏变换，可得T2s2C(s)+2ζTsC(s)+C(s)=R(s)移项整理有121)()()(22TssTsRsCsG第三章自动控制系统的数学模型令T=1/ωn,ωn为该环节的无阻尼自然振荡频率,则上式可改写成如下形式:2222)(nnnsssG振荡环节的方框图如下图(a)所示。第三章自动控制系统的数学模型图(a）振荡环节方框图；(b）振荡环节单位阶跃响应(a)2nn22n2ssR(s)C(s)c(t)c(t)r(t)t(b)10若输入量为r(t)=1(t)，则输出量的传递函数为sssCnnn12)(222查表，可得该环节的单位阶跃响应为)sin(111)(2tetcdtn第三章自动控制系统的数学模型振荡环节的单位阶跃响应曲线一般如上图(b)所示。振荡环节的单位阶跃响应，随着阻尼比ζ的不同，表现出不同的动态响应过程，如下图所示。第三章自动控制系统的数学模型图振荡环节的单位阶跃响应曲线＝0c(t)10nt＝0.2＝0.4＝0.7＝1.0＝2.0第三章自动控制系统的数学模型•又令2ζT=RC,得LCRTRC22为系统的阻尼比。第三章自动控制系统的数学模型•根据ζ的不同取值，该二阶系统可形成如下单位阶跃响应uc(t)的过程：•（1）当ζ=0，即R=0时，响应uc(t)为等幅振荡过程。•（2）当0ζ1，即0R2时，响应uc(t)为衰减振荡过程。•（3）当ζ=1，即R=2时，响应uc(t)为临界振荡过程。•（4）当ζ1，即R2时，响应uc(t)为非周期（振荡）过程，此时该二阶系统为二阶惯性环节。LCLCLC第三章自动控制系统的数学模型