大学基金投资的数学建模

1大学基金投资的数学建模摘要：在如今高速发展的社会下，数学应用对于企业的生产、投资和规划有着不可缺少的作用。本文是关于学校基金最优化的建模——在一段时期内，如何合理地投资基金使得每年的收益最多，从而达到每年的奖金最多。在建模的问题分析中，关于基金的最优使用方案可以转化为求n年如何把基金投入不同期限的投资项目，所得利息最大的分配问题。在满足每年能发下相同奖学金的前提下，应尽可能的投入期限长的投资最大化收益，同时在多种不同的投资组合中分析计算出1到10年的最佳组合。对于本文的问题，可以做成简单的数学模型。对于基金M使用n年的情况，可以把M分成n分，其中把第i(i=1,2,3,…,10)份基金iM投资期限为i年，那么只有当iM按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金，且把基金Mn按照最佳的方案投资n年后的本金与收益的和等于当年的奖金与原基金M之和时，每年的发放奖金数达到最大。问题1：如果仅考虑把全部的基金都投入科研。可以选择出n=10内的基金投资组合的最佳分配，利用上述原理得到一个多元方程组，问题也转为解多元方程的问题，用Lingo软件求解。问题2：如果仅考虑将全部经费投入到科研也可投入教学，类似问题1，只是多了三种投资期限，同理也可选择出N年内的最佳组合，列出方程组，用Lingo软件解出最优解。问题3：如果将全部的基金的一部分投入科研，另一部分投入教学，并要求第14年末的奖学金比其他年度多30%，同样也是选择最佳的投资组合，列出方程，用Lingo软件解出。关键字：基金数学模型科研教学一、问题重述某大学获得了一笔数额为M元的经费，打算将其投入到学校教学或科研中。经行家分析，投入到科研上，这笔经费给学校带来的年平均收益情况见下表1（譬如某人或学科组申请到此基金的一部分作为科研经费，申请时间3个月，3个月期满必须归还校基金会）。表1：科研基金年平均收益率（%）2种类3个月6个月一年二年三年五年收益率（%）1.3681.5121.5841.8002.0162.232假设投入到教学中，用于建设精品课程，分1年、3年、5年建设课程（建设期满投入全部收回），行家估算，这笔基金给学校带来的平均收益见表2。表2：教学基金年平均收益率（%）种类一年三年五年收益率（%）1.982.522.79学校计划在n年内每年用部分收益奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原经费数额。学校希望获得最佳的经费使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助学校在如下情况下设计经费使用方案；并对M=100万元，n=10年给出具体结果：1．只投入到科研上不投入到教学中；2．可投入到科研上也可投入教学中；3．学校在经费到位后的14年（假如是2019年）要举行建校100周年校庆，希望这一年的奖金比其它年度多30%二、模型假设（1）每年所发放奖金额保持相同；（2）两种收益假设在这几年内保持不变；（3）将所得收益及时取出，扣除部分用于年发放奖金外立即投入科研和教学；（4）行家对于投资带来的利益的估算是可靠的、科学的和稳定的；（5）投入的资金在使用期满后能确保收回；（6）投资方式的选择不收收益率以外的其他因素影响；（7）不考虑投资的风险问题三、符号说明M学校获得的基金总额1Y在只投资科研的情况下每年发放的奖金数额2Y在投资科研和教学的情况下每年发放的奖金数额33Y只投资教学且第十四年的奖金比其他年份提高30%时，其他年份的奖金4Y投资科研和教学且第十四年的奖金比其他年份提高30%时，其他年份的奖金iM投资期限为i年的第i份资金的投资额四、问题分析问题1分析：对于固定的基金M元，只投入到科研上不投入到教学中。在投入科研有6种选择方式所以的组合，选择获得的利润最大。由题目给出的年利率可知，科研基金投资的时间越长，每年的年收益越大，因此我们尽可能的长期投资。如果全部用来投资5年期的科研项目获得利润最高，但是由于每年要发放一定的奖金，不能这样做，要保证每年末都有固定的奖金额S。因此要拿出必要的钱投资用于每年的奖金发放，把M分成n份，其中第i（ni1）份基金im，那么只有当第i（11ni）份基金im按最优投资方式存i年后的本利和等于当年的奖金发放数，并且第n份基金按最佳投资方式投资n年后的本利和等于原有基金M与当年的奖金发放数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。问题二的分析：本问题中投资方式增多了，观察可发现投资精品课程建设的收益率在1年，3年，5年时都比投资科研项目要高。因此在这些期限投资精品课程收益较高，4年和5年的情况下也考虑投资精品的组合方式。这就仅仅需要比较的是如果是两年期的，是投资1个2年期的科研项目收益多，还是连续2年投资1年期的教学项目收益多，从中分析找出最佳分配。问题三的分析：对于该问题需要注意下第14年的奖金数额比其他年度多30%，其他可以跟前两个问题类似，对比前面两种模型就能求得相应的最优值。五、模型的建立于求解问题一：只投入到科研上不投入到教学中把基金M元分成n份，其中把第i（1≤i≤10）份基金Mi投资期限为i年，那么只有当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。然后考虑投资策略的最佳方案：由于三个月及六个月的利润太低，故不给4以考虑。若定期i为年的投资年利率为iR，定期为j年的投资年利率为jR，则一定资金M投资i年再投资j年，i+j年后的本利和为：M(1+i*iR)(1+*jR);同样，一定资金M投资j年再投资i年，i+j年后的本利和为：M(1+j*jR)(1+i*iR);有乘法的交换率可知：M(1+i*iR)(1+*jR)=M(1+j*jR)(1+i*iR);即投资i+j年后的本利和与采用不同投资方法的先后顺序无关。设用（i，j）的形式表示投资方案，其中（i，j）表示先投资i年，再投资j年。表一：科研各种投资方案投资方案科研到期后年均收益率（%）最佳投资方案科研到期后年均最佳收益率（%）一年期（1）1.584（1）1.584两年期（1，1）1.597（2）1.800（2）1.800三年期（1，1，1）1.609（3）2.016（1，2）1.747（3）2.016四年期（1，1，1，1）1.622（3，1）1.932（2,1,1）1.832（2,2）（3，1）1.932五年期（1，1，1，1，1）1.635（5）2.232（2，2，1）1.806（3，2）1.973（5）2.232六年期（3，3）2.077（5，1）2.153（5，1）2.153七年期（5,2）2.166（5,2)2.166（3,2,2）1.974八年期（5,3）2.211(5,3)2.211（3,3,2）2.064九年期（5,3,1）2.194(5,3,1)2.194（3,3,3）2.140十年期（5,5）2.357(5,5)2.357（5,3,2）2.2135有上表可知，在n=10年的投资方案中，只能有1,2，3,5年期限的投资组合中选择最佳的方案。将基金M份成10份，对比上表可得最佳的分配方案为（1），（2），（3），（3，1），（5），（5,1）(5,2),(5,3),(5,3,1),（5,5），又知当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。则可列出n=1～10年的等式：M1(1+1.584%)=Y1M2(1+2×1.8%)=Y1M3(1+3×2.016%)=Y1M4(1+1.584%)(1+3×2.016%)=Y1M5(1+5×2.232%)=Y1M6(1+5×2.232%)(1+1.584%)=Y1M7(1+2×1.8%)(1+5×2.232%)=Y1M8(1+3×2.016%)(1+5×2.232%)=Y1M9(1+1.584%)(1+3×2.016%)(1+5×2.232%)=Y1M10(1+5×2.232%)(1+5×2.232%)=MY1MMii101运用Matlab软件设计程序可得当n=10,M=100万元基金时，投资科研最佳的投资方案的奖金：Y=2.218112万元。最佳投资方案的投资收益如下表二：Mi值及其投资i年的最佳投资策略资金数额（万元）最佳投资策略M12.183525（1）M22.141035（2）M32.091572（3）M42.140415（3，1）M51.995423（5）M61.964322(5,1)M71.926113(5,2)M80.984471（5，3）M91.852286（5，3，1）M1082.720813（5，5）表三：M=100万元，n=10年投资科研基金使用最佳方案（单位：万元）投资一年定期投资二年定期投资三年定期投资五年定期投资到期本利和每年奖金数额第一年初2.1835252.1410354.23198791.443428第一年末2.2181122.218112第二年末2.2181122.218112第三年末2.1835254.4879382.218112第四年末2.2181122.2181126第五年末2.1835252.1410354.23198791.952456102.2181122.218112第六年末2.2181122.218112第七年末2.2181122.218112第八年末2.1835254.4879382.218112第九年末2.2181122.218112第十年末102.2181122.218112问题2：可投入到科研上也可投入教学中仍将M分成M1，M2，…，Mn共n份，Mi可作为投资科研或教学，其本金与利润之和作第i年的奖金，最后一笔除奖金外，还应留下原基金M。由于可以投资科研也可投资教学，通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了。有问题一的原理在下表中用形如（i，j）的形式表示投资方案，其中（i，j）表示先投资i年，再投资j年。表四：教学各种投资方案投资方案教学到期后年均收益率（%）最佳投资方案教学到期后年均最佳收益率（%）一年期（1）1.98（1）1.98两年期（1，1）2.00（1，1）2.00三年期（3）2.52(3)2.52（1，1，1）2.02四年期（1，1，1，1）2.04（3，1）2.42（3，1）2.42五年期（1，1，1，1，1，）2.06（5）2.79（1，1，3）2.37（5）2.79六年期（3，3）2.61（5，1）2.70（5，1）2.70七年期（1,1,5）2.64（1,1,5）2.64（3,3，1）2.57八年期（3,5）2.82（3,5）2.82九年期（1,3,5）2.78（1,3,5）2.78（3,3,3）2.71十年期（5,5）2.99（5,5）2.99由上表有上表可知，在n=10年的投资方案中，只能有1,3,5年期限的投资组合中选择最佳的方案。将基金M份成10份，对比上表可得最佳的分配方案为：（1），（1,1），（3），（3，1），（5），（5,1）(5,1,1),(5,3),(5,3,1),（5,5），又知当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。则可列出n=1～10年的等式：7M1(1+1.98%)=Y2M2(1+1.98%)(1+1.98%)=Y2M3(1+3×2.52%)=Y2M4(1+1.98%)(1+3×2.52%)=Y2M5(1+5×2.79%)=Y2M6(1+5×2.79%)(1+1.98%)=Y2M7(1+1.98%)(1+1.98%)(1+5×2.79%)=Y2M8(1+3×2.52%)(1+5×2.79%)=Y2M9(1+1.98%)(1+3×2.52%)(1+5×2.79%)=Y2M10(1+5