2.2.圆锥曲线的参数方程-(1)

第二讲圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程一、知识回顾222()()xaybr问题:圆的参数方程是什么?是怎样推导出来的?122rbyraxsincos:rbyrax令)(sincos:为参数得rbyrax问题:你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？12222byax12222byax122byaxsincosbyax令)(sincos为参数byax这就是椭圆的参数方程椭圆参数方程的推导11xxayyb从几何变换的角度看，通过伸缩变换22222211.xyxyab则椭圆的方程可以变成＋cos()sinxy利用圆的参数方程为参数cos()sinxayb可以得到椭圆的参数方为为参数程如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=φOAMxyNB解：设∠XOA=φ,M(x,y),则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.sinbycosax)(为参数消去参数得:,bya12222x即为点M的轨迹普通方程.如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴φOAMxyNB知识归纳椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义MOXYN(x,y))(sincos为参数ayax)(sincos为参数byaxABOXYNM(x,y)为OX轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度并非为OX轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.【练习1】把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习2：已知椭圆的参数方程为(是参数)，则此椭圆的长轴长为（），短轴长为（），焦点坐标是（），离心率是（）。2cossinxy4232(,0)3例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.xyOP分析1平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.22204936xymxy000,M(,)mxy消元，利用，求出及切点0025xymdM(3cos,2sin),设|3cos4sin-10|5d则小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.分析23cos()2sinxy椭圆参数方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时,取最小值，0098coscos,2sin2sin55此时3398M(,)2100555Mxy时，点与直线的距离取最小值。22,122516xyxyzxy与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数满足的前提下，求出的最大值和思考：最小值吗？(5cos,4sin)M设是椭圆上的一点，5cos8sinz则089cos()0cos()[1,1][89,89]z例2.已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos,sin)ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.2sin2ab2ab练习3已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解设20cos,16sin2016sincos160sin2ADABS,ABCD160所以矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx:解由椭圆参数方程，设点P(3cos,2sin)PAB即求点到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定需求S最大即可132xy直线AB的方程为：22|cossin6|23d6662sin()1413,,d当=时有最大值面积最大.4322P这时点的坐标为(,2)2360xy练习41、动点P(x,y)在曲线上变化，求2x+3y的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最大值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ22y249x3cos,2sinxy236cos6sinxy62sin()41(3cos,2sin).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)2PABCD、当参数变化时，动点所确定的曲线必过点点点点它的焦距是多少？B25练习5317cos()_____,8sin2xy2.椭圆为参数的中心坐标为(3,2)2224cos2sin3cos0xyxy解：方程2224cos2sin3cos0,()___________?xyxy3.已知圆的方程为为参数，那么圆心的轨迹的普通方程为22(2cos)(sin)1xy可化为2cos()sinxy圆心的参数方程为为参数2214xy化为普通方程是2214xy小结（1）椭圆的参数方程与应用12222byax)(sincos为参数byax注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。（2）椭圆与直线相交问题2.双曲线的参数方程•aoxyMBA'B'A双曲线的参数方程探究：双曲线的参数方程22221xyabb12,,OabCC以原点为圆心，为半径分别作同心圆1,ACOAOxOA设为圆上任意一点，作直线设为始边，为终边的角为''1AC过点作圆的切线AA与x轴交于点A,''22.CC过圆与x轴的交点B作圆的切线BB与直线OA交于点B''''过点A,B分别作y轴,x轴的平行线AM,BM交于点M.•aoxyMBA'B'A双曲线的参数方程b(,)Mxy设''(,0),(,).AxBby则1AC点在圆上A(acos,asin).''OAAAOAAA又,=02cos(cos)(sin)0axaacosax解得：'又点B在角的终边上，tan.yb由三角函数定义有：tanyb1seccos记secxaxaMybsec()tan点的轨迹的参数方程是为参数'AA=(x-acos,-asin)sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.•aoxyMBA'B'Ab双曲线的参数方程例2、2222100xyMabOabMABMAOB(,)如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标（asec,btan为）,b将y=x代入①，解得点A的横坐标为aAax=（sectan）2.Bax=（se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设AOx=,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA||OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a(sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。tan(sec).bybxaMAa则直线的方程为：①双曲线的参数方程sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b2222221sectan1xyab注意：双曲线：的参数方程实质是由三角恒等式而代换得来的sec()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：b为离心角注意:双曲线还有什么参数方程?1()1xtttytt为参数()ttttxeetyee为参数3.抛物线的参数方程xyoM(x,y)22......(1)ypx设抛物线的普通方程为tan.............(2)yx由三角函数的定义可得(1),(2),xy由解出，(1)()这就是抛物线不包括顶点的参数方程1,(,0)(0,),tantt如果令22()2xpttypt则为参数有抛物线的参数方程22tan()2tanpxpy得到为参数(0,0)0t，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点当时2(,2()2)xpttyptt为当时，参数方程就参数表示抛物线。t参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。M抛物线上任意点（x,y)MOX220)ypxp抛物线（的参数方程为：22()2xpttypt为参数t参数的几何意义-----抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。22(0)?xpyp思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线的参数方程22tan()2tanxpyp为参数tan,(,)tt如果令22()2xpttypt为参数t参