空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O,(1,0,0)A,(0,1,1)B,(0,0,1)C组成的四面体的体积是___𝟏𝟔___.2.已知向量(1,1,1)a,)3,2,1(b,(0,0,1)c,则cba)(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线03zxyx的距离是___6611___________.4.点)2,0,1(到平面321xyz的距离是__3147___________.5.曲线C:2201xyzzx对xoy坐标面的射影柱面是___2210xxy____,对yoz坐标面的射影柱面是__22(1)0zyz_________,对xoz坐标面的射影柱面是____10zx__________.6.曲线C:220xyz绕x轴旋转后产生的曲面方程是__4224()xyz_____，曲线C绕y轴旋转后产生的曲面方程是___222xzy_______________.7.椭球面12549222zyx的体积是_____𝟒𝟎𝛑____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分,第4题10分,共55分）1.过点(,,)Pabc作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,abc是3个非零实数.解:设点(,,)Pabc在平面0z上的射影点为1(,,0)Mab，在平面0x上的射影点为2(0,,)Mab，在平面0y上的射影点为3(,0,)Mac，则12(,0,)MMac，13(0,,)MMbc于是1M，12MM，13MM所确定的平面方程是000xaybzacbc即()()0bcxaacybabz.2.已知空间两条直线:1l010xyz,:2l010xyz.(1)证明1l和2l是异面直线;(2)求1l和2l间的距离;(3)求公垂线方程.证明：(1)1l的标准方程是1110xyz，1l经过点1(0,0,1)M，方向向量1{1,1,0}v2l的标准方程是2110xyz，2l经过点2(0,0,2)M，方向向量2{1,1,0}v，于是1212003(,,)1106110MMvv0，所以1l和2l是异面直线。(2)由于12(0,0,2)vv，122vv1l和2l间的距离121212(,,)632MMvvdvv(3)公垂线方程是1110000221100002xyzxyz，即00xyxy。3.求曲线221xyz绕x轴旋转产生的曲面方面.解：设1111(,,)Mxyz是母线221xyz上任意一点,则过1111(,,)Mxyz的纬圆方程是22222211110xyzxyzxx，（1）又211121xyz，（2）由（1）（2）消去111,,xyz得到2222220xyz.4.已知单叶双曲面22214925xyz,)0,0,2(P为腰椭圆上的点,(1)求经过点P两条直母线方程及其夹角;(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角.解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是()(1)253()(1)253xzywuxzyuw与()(1)253()(1)253xzytvxzyvt把点)0,0,2(P分别代入上面两方程组，求得,wutv代入直母线方程，得到过点)0,0,2(P的两条直母线12531253xzyxzy与12531253xzyxzy，即1510630015106300xyzxyz与1510630015106300xyzxyz两直母线的方向向量可分别取1(0,3,5)v和2(0,3,5)v，设两直母线的夹角是，则有12128cos17vvvv，8arccos17.（2）两直母线所在平面的方程是20350035xyz，即2x显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0.四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)1.求证:曲线23222()(,,)111tttrttttttt在一个球面上,这里的(,)t.证明:设()(,,)rtxyz，则有222xyzy，即22211()24xyz所以曲线23222()(,,)111tttrttttttt在球心为1(0,,0)2,半径为12的球面上。2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.证明:(1)双曲抛物面的u族直母线中任一条直母线都平行于平面0byax,v族直母线中任一条直母线都平行于平面0byax,因而结论成立.---------5分(2)不妨取u族直母线来证明，任取u族直母线中两条直母线1l：zbyaxuubyax)(211①和2l：zbyaxuubyax)(222②其中21uu.由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面,即1l和2l在两个平行平面上,因而1l和2l不会相交.又由于直线1l的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(1111abuabbuaubav直线2l的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(2222abuabbuaubav由于21uu,因此1l和2l不会平行,从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.