函数的间断点

函数间断点求法两个基本步骤1、间断点（不连续点）的判断在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义：2、间断点类型的判断找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：①可去间断点：左右极限存在且相等；②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．▪间断点：x0是f(x)的间断点，f(x)在x0点处的左右极限都存在为第一类间断点.f(x)在x0点处左右极限至少有一个不存在，则x0是f(x)的第二类间断点.第一类间断点中{可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：函数的间断点一、函数的间断点设函数xf在点0x的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数xf有下列三种情形之一：1．在0xx没有定义；2．虽在0xx有定义，但xfxx0lim不存在；y在间断x1⑤11xy。　　，11lim11xxx3．虽在0xx有定义，且xfxx0lim存在，但00limxfxfxx；则函数xf在点0x为不连续，而点0x称为函数xf的不连续点或间断点．下面我们来观察下述几个函数的曲线在1x点的情况，给出间断点的分类：在1x连续．在1x间断，1x极限为2．在1x间断，1x极限为2．在1x间断，1x左极限为2，右极限为1．在0x间断，0x极限不存在．像②③④这样在0x点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令21y，则在1x函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x是函数xf的间断点，但左极限yx1121①1xyyx1121②112xxy③1111xxxy，，yx1121④111xxxxy，，yx1121⑥xy1sin00xf及右极限00xf都存在，那么0x称为函数xf的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．例1确定a、b使在处连续．解：在处连续因为；；所以时，在处连续．例2求下列函数的间断点并进行分类1、分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限．解：因为，但在处没有定义所以是第一类可去间断点．2、分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限．解：因为，而所以是第一类可去间断点．总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间断点处连续．3、分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．0,1sin0,0,sin)(xbxxxaxxxxf0x)(xf0x)(lim0xfx)(lim0xfx)0(fbbxxxfxx1sinlim)(lim001sinlim)(lim00xxxfxxaf)0(1ba)(xf0x11)(2xxxf1x2)1(lim11lim121xxxxx)(xf1x1x.0,1,0,1sin)(xxxxxf0x01sinlim0xxx1)0(f0x)(xf0x)(lim0xfxx0x.0,1,0,1)(xxxxxf0x解：因为；所以是第一类跳跃间断点．4、分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．解：因为；所以是第一类跳跃间断点．5、解：因为所以是第二类无穷间断点6、解：极限不存在所以是第二类振荡间断点7、求的间断点，并将其分类．解：间断点：当时，因，故是可去间断点．当时，因，故是无穷间断点．小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．1、求分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数，找出分段点，判断．1)1(lim)(lim00xxfxx1)1(lim)(lim00xxfxx0xxxf1arctan)(0x21arctanlim)(lim00xxfxx21arctanlim)(lim00xxfxx0xxexf1)(xxxexf100lim)(lim0xxxf1sin)(xxfxx1sinlim)(lim000xxxxfsin)(),2,1,0(kkx0x1sinlim0xxx0x),2,1(kkxxxkxsinlim),2,1(kkxnnxxxf211lim)(解：因为；所以是第一类跳跃间断点因为；；所以是连续点．.1,01,11,011,1)(xxxxxxf00lim)(lim11xxxf2)1(lim)(lim11xxfxx1x0)1(lim)(lim11xxfxx00lim)(lim11xxxf0)1(f1x