2000年高考.上海卷.文科数学试题及答案

2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．已知向量12OA、mOB,3，若ABOA，则m。2．函数xxy312log2的定义域为。3．圆锥曲线1916)1(22yx的焦点坐标是。4．计算：nnnn)2(lim。5．已知bxfx2)(的反函数为)(1xf，若)(1xfy的图象经过点)2,5(Q，则b。6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8．设函数)(xfv是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，)(xf=。9．在二项式11)1(x的展开式中，系数是小的项的系数为。（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。11．图中阴影部分的点满足不等式组0,0625yxyxyx，在这些点中，使目标函数yxk86取得最大值的点的坐标是。12．在等差数列na中，若010a，则有等式),19(192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若19b，则有等式成立。二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13．函数])2,2[)(2sin(xxy是（A）增函数（B）减函数（C）偶函数（D）奇函数[答]（）14．设有不同的直线a、b和不同的平面a、、，给出下列三个命题：（1）若aa//，ab//，则ba//。（2）若aa//，//a，则//a。（3）若a，，则//a。其中正确的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3[答]（）15．若集合TSRxxyyTRxyySx则,,1|..3|2是（A）S（B）T（C）（D）有限集[答]（）16．下列命题中正确的命题是（A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则552sina。（B）同时满足23cos,21sinaa的角a有且只有一个。（C）当1||a时，)(arcsinatg的值恒正。（D）三角方程3)3(xtg的解集为Zkkxx,|。三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（本题满分12分）已知椭圆C的焦点分别为)0,22(1F和)0,22(2F，长轴长为6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD的体积。[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数],1[,2)(2xxaxxxf。（1）当21a时，求函数)(xf的最小值。（2）若对任意],1[x，0)(xf恒成立，试求实数a的取值范围。[解]（1）[解]（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。根据指令),(r)180180,0(r，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。[解]（1）[解]（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。在XOY平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111nnnbaPbaPbaP对每个自然数n，点nP位于函数)100()10(2000aayx的图象上，且点nP，点)0,(n与点)0,1(n构成一个以nP为顶点的等腰三角形（1）求点nP的纵坐标nP的表达式；（2）若对每个自然数n，以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设))((1Nnbgcnn，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列nc前多少项的和最大？试说明理由。[解]（1）[解]（2）[解]（3）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知复数yixzmmiz),0(10和，其中yxyx,,,均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有iyx0zzw，||2||zw。（1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式：（2）将（x、y）用为点P的坐标，(x、y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q。已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为)2,3(，试求点P的坐标；（3）若直线kxy上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值。[解]（1）[解]（2）[解]（3）2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分。2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。3．第17题至第22题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。给分或扣分均以1分为单位。解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。1．42．)3,21(3．（－4，0），（6，0）4．2e5．16．97．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．x9．－46210．14111．（0，5）12．),17(172121Nnnbbbbbbnn二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。题号13141516代号CAAD三、（第17题至第22题）17．[解]设椭圆C的方程为12222byax…（2分）由题意3a，22c，于是1b。∴椭圆C的方程为1922yx…（4分）由19222yxxy得02736102xx因为该二次方程的判别0，所以直线与椭圆有两个不同交点。…（8分）设),(),,(2211yxByxA则51821xx，故线段AB的中点坐标为)51,59(…（12分）18．[解法一]如图建立空间直角坐标系，…（2分）由题意，有)0,2,0(A，)0,0,2(C，)0,1,1(E设D点的坐标为),0,0(z)0(z，则0.1.1BE，zAD,2,0…（6分）则2cos422zBEAD，且BEAD与所成的角的大小为1010arccos。∴10142cos22z，得4z，故BD的长度是4，…（10分）又BDBCABVABCD61，因此四面体ABCD的体积是38，…（12分）[解法二]过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角。∴∠DAF=1010arccos，…（4分）∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，AF=2BE=22。…（6分）又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA，∴DF=DA…（8分）三角形ADF是等腰三角形，AD=BDBCABDAFAF61V20cos12ABCD故，…（10分）因此四面体ABCD的体积是38…（12分）19．[解]（1）当21a时，221)(xxxf，)(xf在区间[,1]上为增函数，…（3分）)(xf在区间[,1]上的最小值为27)1(f…（6分）（2）[解法一]在区间的[,1]上，02)(2xaxxxf的恒成立022axx恒成立，…（8分）设],1[,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增，∴当1x时，ay3min，…（12分）于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a…（14分）（2）[解法二]],1[.2)(xxaxxf，当0a时，函数)(xf的值恒为正，…（8分）当0a时，函数)(xf递增，故当1x时，03)(minaxf，…（12分）于是当且仅当03)(minaxf时，函数0)(xf恒成立，故3a…（14分）20．[解]（1）24r，45，得指令为)45,24(，…（4分）（2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球…（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有,)40()4(2|17|22xx…（8分）即0161232xx得7323xx或。∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，∴7x故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，…（10分）所给的指令为)13.98,5(…（14分）21．[解]（1）由题意，21nan，21)10(2000nnab…（4分）[解]（2）∵函数xay)10(2000递减，∴对每个自然数n，有nb＞1nb＞2nb，则以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形的充要条件是2nb+1nb＞nb，即01)10()10(2aa，…（7分）解得)15(5)51(5aa或，∴10)15(5a…（10分）[解]（3）∵10)15(5a，∴7a，21)107(2000nnb，…（12分）于是7.01)21(213])107(2000[121gnggcnn,数列nc是一个递减的等差数列。因此，当且仅当0nc，且01nc时，数列nc的前n项的和最大。由07.01)21(213gngcn，得8.20n，∴20n…（16分）22．[解]（1）由题设，2|||,|2||||||||000zzzzzzw，于是由3,0,412mmm得且…（3分）因此由iyxyxyixiiyx)3(3)()31(，yxyyxx33得关系式…（5分）[解]（2）由题意，有2333yxyx…（7分）41433yx解得，即P点的坐标为)41,343(。…（10分）[解]（3）∵直线kxy上的任意点P),(yx