高等数学B(下)·平时作业2019华南理工

《高等数学下（B）练习题》第1页（共3页）《高等数学下（B）》练习题2018-2019第二学期（2019.3））要求：1、直接在本文档作答（以下三种方式之一）：（1）可输入文本和数学符号公式；（2）插入大小合适的作答图片；（3）若打印手写，拍照后将照片插入一个word文件中，不要几张照片压缩成一个压缩文件！）2、在规定的时间内，按格式要求准确上传作业！不要上传别的科目作业,也不要上传其他学期的作业，本次作业题与其他学期作业题有很大变化！3、必须提交单个的word文档！（doc或docx格式）不要用压缩文件上传！（1）不按要求提交，会极大影响作业分数（以往学期部分同学直接在网页上答题，结果只能显示文本，无法显示公式，这样得分会受很大影响）（2）若是图片，请将图片大小缩小后插入到一个word文件中。（3）图片缩小方式：鼠标指向图片，右键，打开方式，画图，ctrlw，调整大小和扭曲，依据（百分比），将水平和垂直的原始数值100都改为40，另存为jpg格式。这样处理后，一个大约3M的照片会缩小至几百K，也不影响在word中的清晰度。网络上传也快！4、认真答题，举一反三。本练习题中填空题，期末考试中将以单选题的方式考察类似问题。祝大家学习顺利！一、判断题1.𝑦‴𝑦″−𝑦4(𝑦′)4+𝑥𝑦=0是三阶微分方程.（×）2.𝑦‴𝑦″−𝑦4(𝑦′)4+𝑥𝑦=0是四阶微分方程.（×）3.设函数𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑥0,𝑦0)点的偏导数存在，则𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑥0,𝑦0)点可微.（×）4.设函数𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑥0,𝑦0)点的可微，则𝑓(𝑥, 𝑦)在(𝑥0,𝑦0)点偏导数存在.（√）5.二重积分∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜎𝐷:𝑥2+𝑦2≤4表示以曲面𝑓(𝑥,𝑦)为顶，以区域𝐷为底的曲顶柱体的体积.（×）6.若𝑓(𝑥,𝑦)是非负连续函数，二重积分∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜎𝐷:𝑥2+𝑦2≤4表示以曲面𝑓(𝑥,𝑦)为顶，以区域𝐷为底的曲顶柱体的体积.（×）《高等数学下（B）练习题》第2页（共3页）7.若级数∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛，则𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑢𝑛=0.（×）8.若𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑢𝑛=0,级数∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛.（√）9.若级数∑|𝑢𝑛|∞𝑛=1收敛，则级数∑𝑢𝑛∞𝑛=1也收敛.（√）10.若级数∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛，则级数∑|𝑢𝑛|∞𝑛=1也收敛.（×）二、填空题1.微分方程  𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑒−  𝑥2 的通解是_____𝑥2+𝑦2=C________.2.函数𝑓(𝑥,𝑦)=1√𝑥2+𝑦2−16定义域为___𝑥2+𝑦216____________.3.若𝐷是由𝑥+𝑦=2、𝑥轴、𝑦轴围成的闭区域,则在计算∬𝑓(𝑥,𝑦)𝐷𝑑𝜎等于______0_______.4.级数∑（2×3𝑛∞𝑛=1）收敛性为_____收敛________（填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性”）.5.级数∑（2×13𝑛∞𝑛=1）收敛性为______发散_______（填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性”）.6.级数∑1𝑛𝑝∞𝑛=1 ( 𝑝 为常数)____调和级数_________.三、解答题11.求微分方程 𝑦′+2𝑥𝑦=2𝑥𝑒−𝑥2 的通解.解：y'+2xy=2xe^(-x^2)dy/(2xdx)+y=e^(-x^2)dy/d(x^2)+y=e^(-x^2)e^(-x^2)=u-x^2=lnu-dy/dlnu+y=u-udy/du+y=uydu-udy=uduy/u=vdy=udv+vdu《高等数学下（B）练习题》第3页（共3页）uvdu-u*(udv+vdu)=udu-u^2dv=ududv=-du/uv=-lnu+C0y/u=-lnu+C0y=-ulnu+C0u通解y=x^2e^(-x^2)+C0e^(-x^2)12.求微分方程𝑦″−𝑦′−6𝑦=0的通解.解：𝑦″−𝑦′−6𝑦=0特征方程为：r²-r-6=0(r+2)(r-3)=0r=-2,或r=3所以通解为：y=c1e^(-2x)+c2e^(3x)13.求由方程𝑥2+𝑦2+𝑧2=4𝑧所确定的隐函数𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)的全微分.解：2𝑥+2𝑧(𝜕𝑧/𝜕𝑥)=4(𝜕𝑧/𝜕𝑥)(4-2z)𝜕𝑧/𝜕𝑥=2𝑥𝜕𝑧/𝜕𝑥=𝑥/2−𝑧14.若𝑧=𝑓(𝑥2−𝑦2,𝑥𝑦)，其中𝑓具有二阶连续偏导数，求z的两个偏导数解：令u=x+y,v=xy记f'1=df/du;f'2=df/dv;f''12=d^2f/dudvdz/dx=f'1+yf'2d^2/z/dxdy=f''11+(x+y)f''12+xyf''22+f'2《高等数学下（B）练习题》第4页（共3页）15.计算二重积分∬𝑥2𝑦𝑑𝜎𝐷，其中𝐷是由直线𝑦=𝑥、𝑥=1及𝑥轴所围成的区域.解：原式=∫𝑥2𝑑𝑥10∫𝑦𝑑𝑦𝑥0=12∫𝑥410𝑑𝑥=11016.计算二重积分∬𝑥2𝑑𝜎𝐷，其中𝐷是由圆 𝑥2+𝑦2=4 和 𝑥2+𝑦2=16 之间的环形区域.解：17.判定级数∑1(2𝑛+1)(2𝑛+3)∞𝑛=1的收敛性.解：1）由于|u(n)|=√(n³+1)-√n³=1/[√(n³+1)+√n³]n^(-3/2)，而级数∑n^(-3/2)收敛，据比较判别法，可知原级数（绝对）收敛。2）由于lim(n→∞)ln[(2n+3)/(2n+1)]/(1/n)《高等数学下（B）练习题》第5页（共3页）=lim(n→∞)ln[1+2/(2n+1)]/(1/n)=lim(n→∞)[2/(2n+1)]/(1/n)=1，而级数∑(1/n)发散，据比较判别法，可知原级数发散。