线性代数-高斯消元法

1第1章线性代数初步1.1高斯消元法2本章将研究线性方程组的一般解法，引入矩阵初等变换这一重要工具，并且介绍利用矩阵初等变换求逆矩阵的方法.一、线性方程组3)1.1(...................22112222211211212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa对此方程组，引进由方程组（1.1）的系数构成矩阵，nmijaA1n未知量列向量及常数列x1mb根据第一章的讨论，线性方程组4可以写成（1.2）bAxmnbbbbxxxx2121如果中至少有一个不为零，那么（1.1）称为非齐次方程组；否则（1.1）称为齐次线性方程组。mbbb,...,,21bAB|5称为方程组（1.1）的一个解.方程组（1.1）的所有解组成的集合称为（1.1）的解集.求解非齐次线性方程组首要的问题是要判断该方程组是否有解，若方程组有解，称该方程组是相容的，否则称为不相容的。如果两个方程组有相同的解集，那么称它们是等价的方程组。满足方程（2.1）的元有序数组TnTncccxxxx),...,,(),...,,(2121n6例1)1(二、高斯消元法解线性方程组求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422对于一般的线性方程组，所要讨论的问题是：线性方程组相容的条件；当线性方程组相容时，研究解的性质并且给出求解的方法．我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组的一般过程.7解)(1B)1()(2B2132,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221323314,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx13428)(3B)(4B,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342522133422,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232443用“回代”的方法求出解：9对应的方程组为33443231xxxxx3,xt或令方程组的解可记作1234433xtxtxxtx14131003t.t其中为任意常数10.例1中方程组(B4)称为阶梯形方程组．一般地，一个阶梯形线性方程组应该满足如下两个条件：（1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；（2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为零，设第一个系数不为零的项是第项，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前项的系数全为零．例如线性方程组ii124342362300xxxxx11这三种变换称为线性方程组的初等变换．上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了下列三种变换：（1）交换两个方程的位置；（2）以非零数k乘一个方程；（3）把某一个方程的k倍加到另一个方程上．12在例1中，我们实际上已经给出了一种求解线性方程组的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目的．这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法．任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得到的方程组与原方程组等价；并且，任意一个线性方程组一定可以经过若干次适当的初等变换（如类似于例1各步使用的初等变换）得到一个阶梯形的方程组．13小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）ij（以替换）ikij（以替换）iki143．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji15因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．所以下面我们讨论矩阵的初等变换。16定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk三、矩阵的初等变换17定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或18等价关系的性质：；反身性）（AA1A;B,BA2则若对称性）（C.AC,BB,A3则若）传递性（．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价19用矩阵的初等行变换解方程组（1）：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r20979632113221112412111B234330635500222041211B13322rrrr143rr21331000620000111041211B23252rrr243rr310006200001110412113B43rr342rr22500000310003011040101B400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr23对应的方程组为5B33443231xxxxx3,xt或令方程组的解可记作1234433xtxtxxtx14131003t.t其中为任意常数24例2解线性方程组．214241335423333222111xxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵依次施行下列初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵．．B12321413143542A8510121020232112133rrrr85106510232122r32123201560002rr25这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素都为零，它对应一个矛盾方程2000321xxx．因此，原方程组无解．81133223444333222111xxxxxxxxxxxxB8112111113133211B52130381052013321112133rrrr例3解方程组解对方程组的增广矩阵依次施行下列初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵262311231301483303125rr104261300338410133211233rr82100338410133211133r27最后一个矩阵已是行阶梯形矩阵，它对应的方程组是3381328342444333221xxxxxxxxx4328xx4x4328xx12x12x4328xx412xx从最后一个方程可得其中，可取任意实数．把代入第二个方程，得到．再把代入第一个方程，得到28tx4tttxxxx28124321t令，得方程组的解为其中，是任意数．此时，方程组有无穷多个解．472252232323232111xxxxxxxxxxxB例4解线性方程组．解对方程组的增广矩阵依次施行以下初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵．294112722151112110B411272212110511121rr631021102110511113142rrrr42000000211051112324rrrr000042002110511143rr000021002110511123r,30225333212xxxxxx这个矩阵是行阶梯形矩阵，它对应的方程组是用回代方法得原方程组的解203321xxx．此时，方程组有唯一解．31四、一般的线性方程组解的三种不同情况．，设线性方程组)5.1(...................22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa32我们对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵。00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc(1.6)33其中ricii,,2,1,0．(1.7)000111221122222111111212111rrnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrddxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc01rd它对应的线性方程组为情形1(1.7)式中，即阶梯形矩阵（1.６）的最后一个非零行除最后一个元素不为零外其余元素都为零．此时，方程组(1.7)是一个矛盾方程组，无解因此线性方程组(1.5)也无解．34情形2(1.7)式中，01rd且nr即矩阵(1.6)的任一行都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的情形，并且矩阵(1.6)的非零行的行数等于方程组未知量的个数．此时由方程组（2.7）的最后一个方程可解出唯一的值，rx并经过逐次回代可求得其余未知量．从而，线性方程组（1.5）有唯一的解．情形3（1.7）式中01rd且nr即矩阵(1.6)的任