线性代数向量矩阵的概念与运算

第2章向量与矩阵2矩阵的概念与运算下页1向量的概念与运算3逆矩阵4分块矩阵5矩阵的初等变换与初等矩阵6矩阵的秩7向量组的线性相关性8向量组的正交化第1节向量的概念与运算定义1n个数a1，a2，，an组成的有序数组(a1,a2,,an)，称为n维向量，记为a，其中ai(i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.a=(a1,a2,,an)，a1a2an.a=写成列的形式，称为列向量，记为n维向量写成行的形式，称为行向量，记为下页1.1向量的概念下页(-a1,-a2,,-an)T，为向量a的负向量，记作-a.称向量(0,0,,0)T为零向量，记作O.称向量如果向量a=(a1,a2,,an)T与向量b=(b1,b2,,bn)T都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.a1a2ana=本教材约定向量的形式为列向量，即或记做a=(a1,a2,,an)T向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+O=a(4)a+(-a)=O(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a1.2向量的运算定义2设,则(12,,,Tnaaa=α(12,,,,Tnbbb=β（1）(1122,,,Tnnababab=+++α+β(12,,,Tnkkakaka=α（2）（k为常数）下页向量的加法向量的数乘下页向量的减法设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:a-b,即对应分量相减.=a+(-b)1202,1,1031=-=-=-abg例1．设,23-+求abg.解：23-+abg12022311031=---+-260431091=---+-40.10-=-解：a+2g+(-a)=b+(-a)；两边加a的负向量a+(-a)+2g=b+(-a)；交换律O+2g=b-a；性质4a+(-a)+2g=b-a；约定（减法）2g=b-a；性质3½*2g=½*(b-a)；数乘运算1g=½*(b-a)；恒等变换g=½*(b-a)；性质8下页例2．设2,bg+且＝求ag.122,1,03=-=-ab说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.(计算结果，略.)定义3设a=(a1,a2,,an)T与b=(b1,b2,,bn)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.向量的内积例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b的内积为(a,b)=(-1)2+10+0(-1)+23=4.nnniiibabababa+++==...2211111221(,)...niinniababababab===+++下页内积的性质设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=o时，有(a,a)=0.下页向量的长度定义4对于向量a=(a1,a2,,an)T，其长度(或模)为22212||||(,)naaaaaa==+++例如，向量a=(-1,2,0,2)T的长度为2222||||(,)(1)2023aaa==-+++=向量长度的性质（了解）下页(1):00;aaa==非负性0，当且仅当时，有   (2):||||()kkkaa=齐次性为实数；((3):,;ababab柯西不等式对任意向量，有(4)++.abab三角不等式：长度为1的向量称为单位向量.向量的单位化（标准化）||||aaaaaaa=000若非零向量的长度不等于1，令，则为单位向量，称为的单位向量。0aaa从得到的运算称为向量的单位化。下页例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两正交的：(ei,ej)=0(ij).例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.定义5如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为：若(a,b=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.(,)arccos||||.||||abab=ab记作下页定义6如果m个非零向量组a1，a2，，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.下页显然,例4中n维单位向量组e1，e2，，en1100=e2010=e00,1n=e为标准正交向量组.标准正交向量组在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm(a11a12a1nb1)(a21a22a2nb2)(am1am2amnbm)→→→→这些有序数组可以构成一个表a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm这个表就称为矩阵.2.1矩阵的概念下页第2节矩阵的概念与运算其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素.一般情况下，我们用大写字母A，B，C等表示矩阵.mn矩阵A简记为A=(aij)mn或记作Amn.a11a12a1na21a22a2nam1am2amn定义1由mn个数aij(i=1,2,,m；j=1,2,,n)排成一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵，记作下页如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是同型矩阵或同阶矩阵。零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母a，b，x，y等表示.例如a=(a1a2an)，b1b2bmb=.负矩阵-a11-a12-a1n-a21-a22-a2n-am1-am2-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.下页b11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n0a22a2n00ann如下形式的n阶矩阵称为上三角形矩阵.三角形矩阵如下形式的n阶矩阵称为下三角形矩阵.方阵若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵.下页注意：区别方阵与行列式数表数值a11000a22000annA=.对角矩阵如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵.对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,,ann).单位矩阵如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵，记为En或E.100010001E=.定义2矩阵相等：设A=(aij)，B=(bij)为同阶矩阵，如果aij=bij(i=1,2,,m；j=1,2,,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.下页2.2矩阵的运算定义1设A与B为两个mn矩阵A+Ba11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a22+b22a2n+b2nam1+bm1am2+bm2amn+bmn=.a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，b11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmnB=，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为A+B.即C=A+B.下页2.2.1矩阵的加法例1．设357220430123A=，132021570648B=，则357220430123A+B=132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+8=48924191007611.=矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。下页设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：（1）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;矩阵的减法可定义为:nmijijba-=-+=-)()(BABA显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.下页a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，定义2设A=(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的数量乘积，记为kA.即ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkam1kam2kamnkA=.2.2.2数与矩阵的数法下页矩阵的数乘：设A=(aij)mn，则kA=(kaij)mn.例2．设357220430123A=，则3A357220430123=3333537323230343330313233=915216601290369=.下页(5)k(A+B)=kA+kB；(6)(k+l)A=kA+lA；(7)(kl)A=k(lA)；(8)1A=A.设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则矩阵数乘的性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.下页例3．设357220430123A=，132021570648B=，求3A-2B.解：3A-2B357220430123=3132021570648-22640421014012816-915216601290369=.791762-22-50-9-2-7=9-215-621-46-06-40-212-109-140-03-126-89-16=下页例4．已知357220430123A=，132021570648B=，且A+2X=B，求X.解：A+2X+(-A)=B+(-A)；两边加A的负矩阵A+(-A)+2X=B+(-A)；交换律O+2X=B-A；性质4A+(-A)+2X=B-A；约定（减法）2X=B-A；性质3½*2X=½*(B-A)；数乘运算1X=½*(B-A)；恒等变换X=½*(B-A)；性质8下页----=52504110252221----=2/512/5022/12/1012/511。从而得X=½*(B-A)例4．已知357220430123A=，132021570648B=，且A+2X=B，求X.说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.解：下页定义3设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为C=AB.则由元素cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj(i=1,2,,m；j=1,2,,n)a11a12a1sa21a22a2sam1am2amsA=，b11b12b1nb