用叠加法求挠度和转角

当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系．而且弯曲变形是很小的．因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法．当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的．下面举例说明．例7-3图7-8所示简支梁，承受均布载荷q和集中力偶M0作用，已知M0=ql2。试求跨度中点的挠度fc和A截面的转角θA。解：利用叠加法求解时，首先将q,M0同时作用下的简支梁(图7-8a)，分解为q作用下的简支梁(图7-8b)和M0作用下的简支梁(图7-8c)，然后，由表7.1查取结果叠加。从表的第9栏查得均布载荷q作用下的中点挠度和A端面转角分别为由表7.1第5栏查得集中力偶M0作用下的中点挠度和A端面转角分别为叠加以上结果，求得q,M0同时作用下的中点挠度和A截面转角为fc为负值，表示挠度向下．θA为负值，表示A截面顺时针转动．例7-4简支梁如图7—10a所示，在2a的长度上对称地作用有均布载荷q.试求梁中点挠度和梁端面的转角．解：利用叠加法求解。由于简支梁上的载荷对跨度中点C对称，故C截面的转角应为零．因而从C截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图7—10b所示。梁上作用有均布载荷q和支座B的反力RB=qa.这样，悬臂梁上B端面的挠度在数值上等于原梁中点C的挠度，但符号相反，B端面的转角即为原梁B端面的转角．经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便．由表7·1的第2栏查得，当集中力RB(=qa)作用时(图7—10c)，B端面的转角和挠度分别为由表7·1的第4栏查得，当均布载荷q作用时(图7—10d)，E截面的转角和挠度分别为由于EB梁段上无载荷作用，所以q引起B点的转角和挠度分别为==叠加上述结果，可得B端面的转角和挠度分别为于是，原梁(图7—10a)中点C的挠度fc为例7-6某一变截面外伸梁如图7—11a所示．AB、BC段的抗弯刚度分别为EI1和EI2，在C端面处受集中力P作用，求C端面的挠度和转角．解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表7．1中的结果．为此，必须将外伸梁分为AB、BC两段来研究．首先假设梁的外伸段BC是刚性的，研究由于简支梁AB的变形所引起的C截面的挠度和转角．然后，再考虑由于外伸段BC的变形所引起的C截面的挠度和转角．最后将其两部分叠加，得C截面的实际变形．由于假设BC段为刚性，故可将P力向简支梁AB的B端简化，得P和Pa．P力可由B支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。集中力偶Pa引起B截面的转角(图7—11b)由表6．1查得它引起C截面的转角和挠度分别为在考虑BC段的变形时，可将其看作悬臂梁(图7—11c)，由表6·1查得，在P力作用下C截面的转角和挠角分别为将图7—11b、c中的变形叠加后，求得C端面实际的转角和挠度分别为例7-7在悬臂梁AB上作用线性分布载荷，如图7-12所示．试求自由端B点的挠度．解：本例同样可以应用叠加法求解．将图中dx微段上载荷qdx看作集中力，查表7·1的第3栏求得微段载荷qdx作用下自由端B截面的挠度为(1)根据题意，线性分布载荷的表达式为(2)按照叠加原理，自由端B点的挠度应为dfB的积分．将(2)式代入(1)式，积分得fB为负号，表示方向向下．