固体物理基础-习题解答6.7章

声明第一条佐正：第1章第5题“原子数、面密度”改为“原子数面密度”；第6章第6题按照小生的理解来作解答；第6章第7题“施”“受”主互换；第7章第6题“λF”理解为“λL”；第7章第7题“原于量”改为“原子量”。第二条本习题解答基于版本：固体物理基础-西安电子科技大学出版社(曹全喜雷天明黄云霞李桂芳著)，且仅限于习题解答，而不包含思考题部分；第三条此版本只含有习题参考答案（部分题目提供了多种解法），而不含有思维分析，若要交流，请百度嗨小生；第四条本习题解答由“苏大师”整理/解答/编排而成；第五条前五章链接：第六条纰漏难免，欢迎指正；第七条不加水印方便打印版权所有网传必究！38第6章晶体中的缺陷习题1、设有某个简单立方晶体，熔点为800℃，由熔点结晶后，晶粒大小为L=1um的立方体，晶格常数α=4Å，求结晶后，每个晶粒中的空位数。已知空位的形成能1eV。解：已知，熔点T=800℃=1073.15K，L=1um=10-6m，α=4Å=4×10-10m，u1=1eV由p257式6-7，有1BkT1nNeB1eV631073.15k10310=e10（）（4）≈3.18×105（个）2、设有小角晶界，其上相邻两个位错的距离为100个原子间距，求此小角晶界分出的两个镶嵌块的方向角。解：已知，d=100b由bd=得θ=0.01≈0.57°。3、已知在γ-Fe中，碳的扩散激活能ε=3.38×104cal/mol，频率因子D0=0.21cm2/s。（1）把γ-Fe放在富碳气氛中，让碳原子扩散到晶体中去，如果想要在1200℃下扩散10h，使离铁晶体表面深3mm处碳的浓度达1%（重量），试问表面需保持的碳浓度的质量百分比为多少？（2）在T=1100℃下，要想在离表面1mm处的碳浓度达到表面碳浓度的一半，问需要扩散多长时间？解：已知，ε=3.38×104cal/mol=3.38×104×4.1868J/mol，D0=0.21cm2/s=2.1×10-5m2/s（1）又知，T=1200℃=1473.15K，t=10h=10×3600sx=3mm=3×10-3m由p272式6-29得39扩散系数BkT0D=De···（1）=2.1×10−5𝑚2𝑠⁄×exp[−3.38×104×1.1868𝐽/𝑚𝑜𝑙÷(6.02×1023)÷1473.15𝑘÷(1.38×104)]=2.0×10−10𝑚2𝑠⁄再由p268式6-19有0.01=C0[1-erf(𝑥2√𝐷𝑡)]解得0.560.552xzDt根据p269表6-4中的数据解得erf(z)=0.5633进一步得00.0230.02C注意：从量纲可知，要将1mol的能量换算成1个的能量。（2）又知，T=1100℃=1375.15K，x=1mm=10-3m且有012CC同（1）得z=0.55即有3100.5522xDtDt···（2）现在需要求得D值。同（1）可知，将T=1373.15K代入（1）式得D=8.6×10-11m2/s现在将D值代入（2）时得t≈9609.8s≈2.67h4、同3、（1）5、同3、（2）6、铝中的肖特基缺陷的形成能为0.75eV，弗伦克尔缺陷的形成能约为3.0eV，问当温度分别为300K和900K时，肖特基缺陷和弗伦克尔缺陷浓度之比分别为何？解：已知，μ1=0.75eV，μ1=μ2=3.0eV40（1）当T=300K时：由p257式6-7和式6-9有1112122()2e=eBBnkTnNnkTnNNCC192319230.751.610(1.3810300)3.01.610(21.3810300)12ee3.8710（2）当T=900K时：将T值代入（1）中式子得124157061.610nnCC7、假定将一个钠原子由钠晶体内部移至表面所需要的能量为1eV，试计算300K下肖特基缺陷的浓度。解：已知，μ1=1.0eV，T=300K同第6题有111716.610BkTnnCeN8、金在硅中引入一个导带底下的0.54eV的施主能级和价带顶上0.35eV的受主能级，在下列掺杂情况下的硅中，金能级将是什么电荷状态：（1）高浓度施主（相对于金浓度而言）；（2）高受主原子浓度。解：（参见p277）结论：当NdNa时，其为n型半导体，呈现负电荷状态；当NdNa时，其为p型半导体，呈现正电荷状态。41第7章晶体的导电性习题1、晶格散射总是伴随着声子的吸收或发射，因此电子被格波的散射不是完全的弹性散射，但近似是弹性散射。试就铝的情况说明之。已知铝的费米能级EF≈12eV，德拜温度ΘD≈428K。证明：（可参考课外微扰理论的知识以加深理解）我们知道，与电子和光子的碰撞类似，电子和声子的碰撞也遵守准动量守恒和能量守恒定律。现在我们以单电子散射（即发生的电子与晶格交换一个声子）过程来做分析证明。类比p119的式3-61（光子的情形）可知，有EK=EK产生一个声子EK=EK吸收一个声子上式说明，电子在跃迁的时候，能量是不守恒的，也就是说，电子被格波的散射不是完全的弹性散射；电子能量的增减显然是来自于晶格振动，而且由于长声学波能量相对于电子的能量而言是极其微小的。（可参见p119有关于声子-光子的内容，以及p316有关BCS理论的内容。）现在我们假设赋予声子以最大的能量作比较，由德拜理论可知，最高声子的能量即是21max=k5.9100.0370.003BDFeVE（小于百倍，可直接忽略）可知，声子能量最多为费米能的千分之几，很小，因此，散射可以近似为弹性散射。补充：晶格散射和电导的推导我们知道，能带理论提供了解决散射机制的前提。在理想的完全按照规则排列的原子的周期性势场中，电子将处于确定的K态，不会发生跃迁。因此，不会产生电阻。但是，在实际上我们知道，原子并不会静止不动的呆在格点上，由于有不断地热振动，原子经常会偏离原来的格点位置，因而其会对周期场产生微扰，从而会引起电子的跃迁，这样的散射机制被称为晶格散射。首先具体考察在nR格点上的原子，位移为n时将引起怎样的微扰。令Vr表示一个原子的势场，那么处于格点nR上原子的场为nVrR，当它的42位移为n时，假设势场本身并未变化，只是随原子位移了n，则势场应写为nnVrR，两者相减得到原子位移引起的势场的变化：nnnnnnVVrRVrRVrR···（1）其中，把V在nrR点的附近按n作级数展开，并保留到一级相。原子的热振动采取格波的形式，具体考虑简单格子的情况，只有声学波。并以弹性波近似代替声学波。原子的位移n用如下形式表示cosnnAeqRt···（2）式中e表示振动方向上的单位矢量。A为振幅。在各向同性的介质中，存在横波和纵波，对于横波eq，对于纵波||eq。弹性波具有恒定的速度，即对于横波C=Ct，对于纵波C=Cl，根据式（1）和式（2），立刻可以写出一个格波引起的整个晶格中的势场变化cosnnnnnnnnHVVrRAqRteVrR1122nniqRiqRititnnnnnnAeeeVrRAeeeVrR···（3）H可以看作是一个微扰，根据量子力学的微扰理论，将本征态之间的跃迁。由式（3）得，从k态到k态的跃迁几率可以写成222122,12nniqRnniqRnnkAeeVrRkEkEkkkkAeeVrRkEkEk（4）式中的δ函数说明，电子的能量在跃迁中时不守恒的，或者说，电子被格波的散射不是完全的弹性散射，即EK=EK产生一个声子EK=EK吸收一个声子2、以硅为本底的n型半导体中只含有施主杂质，其浓度为1015cm-3，在40K的温度下，测量这个n型半导体的多数载流子浓度，即电子浓度为1012cm-3，试估算电离能ΔEd。（补充数据：在室温（300K）硅的有效能级密度约为2.8×431019cm-3。）解：已知，有ND=1015cm-3，n=1012cm-3（T=40K），N-=2.8×1019cm-3（T=300K），查资料知，在杂质激发的情况下，有导带中电子的数目dd//114(/)2/BBEkTDEkTNNeneN但是，当温度相对很低时，有d/2BEkTDnNNe···[p257式6-9]···（1）又知有效能级密度，则由有效能级密度公式*3/232(2)BmkTNh，，根据在T=300K时Si的有效能级密度，可计算出T=40K时的有效能级密度N-=1.36×1018cm-3···（2）然后将（2）和n、T=40K、ND代入公式(1)计算出施主杂质的电离能ΔEd，∆𝐸𝑑=−2𝑘𝐵𝑇·ln𝑛√𝑁−𝑁𝐷=1.16×10-20J≈0.073eV3、锑化铟的介电常数为17，电子有效质量为0.014m0。（1）计算施主电离能。（2）计算基态轨道半径。（3）计算基态轨道开始重叠时的施主浓度。在此浓度下会出现什么效应？为什么？解：（1）利用氢原子基态电子的电离能𝐸0=𝐸∞−𝐸1=𝑚0𝑞48𝜀02ℎ2=13.6eV可将计算浅施主杂质电离能的类氢模型表示为*4*02222008nnDrrmqmEEhm···（p274）带入锑化铟的相关数据mn*=0.014m0和r=17，得4213.60.0146.5910eV17DE（2）利用氢原子基态电子的轨道半径212002052.910mhrmq44可将浅施主杂质弱束缚电子的基态轨道半径表示为212-80d0*2*17=52.9106.410m64nm0.014ronrnnhmrrmqma（3）我们设想施主杂质很均匀地排列成一个立方格子，而且立方格子的边长即为2ad，因此有，（令浓度为C）(2ad)3C=1203d1C=4.77102a（）m-3解释：当施主浓度越过这个数值时，相邻的施主上的基态电子轨道将会发生交叠，这时杂质能级将会扩展成为一个杂质能带。即有，束缚于杂质上的电子，可以在不同的原子之间转移，致使杂质带呈现出一定的导电性。不过，与晶体能带中的电子相比，杂质带中的电子运动要困难很多，只是在低温的情况下，当能带中的载流子对电导的贡献变得很有限时，杂质带中的导电性才会明显表现出来。4、如果n型半导体中的浓度为1015cm-3，电子的迁移率是1000cm2/V·s，计算这个n型半导体的电阻率。解：已知，n=1015cm-3，μ=1000cm2/V·s由p298式7-49有=ne得11==6.25cmne5、设晶体同时存在多种散射机制，试证明电子的迁移率μ满足：ii11=其中，μi是第i种散射机制单独存在时的迁移率。解：（参见p299）在任何时候都有可能有几种散射机制同时存在，因而在计算时，需要把各种散射机制的散射概率相加，得到总的散射概率P，123P=P+P+P+45P1,P2,P3等分别表示各种散射机制下的散射概率。则，平均自由时间为，12311==PP+P+P+即有，1231231111=P+P+P+=+除以*em，得到，1231111即有，ii11=6、在二类超导体中，总的自由能等于磁场的能量加上超导电流表的能量，证明二类超导体的超导相中的磁场满足伦敦方程：22LB=0当外加磁场大于第一临界磁场时，磁通管会穿透进入超导