基本不等式与最大最小值

3.2基本不等式与最大（小）值张先生打算建造一个面积为6000平方米的矩形饲养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设，经过计算，他的儿子说建成正方形的院墙最省，而他认为建成长300米、宽200米的矩形的院墙最省，你认为谁说的对？要解决这个问题，可用基本不等式，这一节我们就学习基本不等式的相关应用.1.进一步掌握基本不等式.2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解决一些简单的实际问题.(重点、难点)想一想：你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，怎样弯面积最大？探究点基本不等式在求最大（小）值中的应用思考1.若x+y=s(和为定值)，则积xy的最大值是多少？取得最大值的条件是什么？提示：由基本不等式x,y∈R+可知，故xy的最大值为当且仅当x=y＝时等号成立.s2思考2.若xy=p(积为定值)，其中p＞0，则和x+y能取得最小值还是最大值？并求出相应的最值.提示：因为所以当xy=p(积为定值)时x+y有最小值当且仅当时等号成立.思考3.若两正数的积是定值4，那么这两个正数的和的最小值是4吗？提示：不一定.要看这两个正数能否相等，例如因sinα≠2,即中的等号不能取到，所以不可能取到4.如果0ab1，P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是()A．PQMB．QPMC．QMPD．MQPB【即时练习】【解析】因为P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)＝log12ab，M＝12log12(a＋b)＝log12a＋b，所以只需比较a＋b2，ab，a＋b的大小．显然a＋b2ab，又因为a＋b2a＋b，(由a＋ba＋b24也就是a＋b41可得)，所以a＋ba＋b2ab.而y＝log12x为减函数，故QPM.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()【解题提示】利用基本不等式求解.D【变式练习】xy1235-2-4-6-112346-50【特别提醒】利用基本不等式求最值应注意的三点：(1)x,y一定要是非负数.(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,看积xy是否为定值.(3)等号是否能够取到.1f(x)2x1(x0).x求的最大值【变式练习】12且-2x=-,即x=-,取等.x2f(x)的最大值-22-1.当仅当时号为1所以f(x)=2x+-1-22-1.x特别提醒：如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.关注因式是负数(2)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由“每间虎笼面积为24m2”,得xy=24.设钢筋网总长l=4x+6y=2(2x+3y)，当且仅当2x=3y时，等号成立.答：每间虎笼设计长、宽分别为6m和4m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.思考.除了应用基本不等式求实际应用问题的最值外，还有哪种方法可用？提示：除了用基本不等式求实际应用问题的最值外，还可用函数的单调性等方法求解.【变式练习】解：设使用x年平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列.因此，汽车使用x年总的维修费用为万元.0.20.22xx（2014·福建高考）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A.80元B.120元C.160元D.240元【变式练习】C【解析】选C.由容器体积为4，高为1可知，容器的底面积为4．设底面长为x，则宽为4x，总造价为W．由题意，44=(2x1+21)10+420=20(x+)+802024+80=160Wxx，当4=xx，即=2x时取“=”．1.（2015·陕西高考）设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是（）A．qrpB．qrpC．prqD．prqC【解析】()lnpfabab，()ln22ababqf，11(()())lnln22rfafbabab，函数()lnfxx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qp=r，故选C．2.（2015·天津高考）已知0,0,8,abab则当a的值为时22loglog2ab取得最大值.【解析】2222222loglog21loglog2log224ababab221log164,4当2ab时取等号,结合0,0,8,abab可得4,2.ab4364.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.40mx40m206.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．一是a，b均为正数；二是a＋b与ab有一个是定值；三是等号必须能取到．三者缺一不可．