两个重要极限的推广与应用

1两个重要极限的推广与应用摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。关键词：重要极限推广形式应用TwoimportantlimitsofpopularizationandapplicationAbstract:Limitinthemathematicalanalysisoccupiesaveryimportantposition,butabasicmathconcepts,butalsothecornerstoneofmathematicalanalysis.Twoimportantlimitandlimitthekeyanddifficultpointforus,somathematicsmajorsisespeciallyimportant.Weshouldnotonlyremembertwoimportantlimitandextendingforms,butalsocanskilledusingtheseformulaeinsolvingtheproblemsofthelimit.Ofcoursethissectionstudyuphasthecertaindifficulty,inordertohelptheclassmatesmucheasiertomasterthissection,thepaperwillbecombinedwithitsfurtheranalysis,toexplorethebasicformoftwoimportantlimititspopularizationandapplication.Keywords:ImportantlimitExtendedformapplication极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sinlim0xxx和exxx)11(lim来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可2以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。1.两个重要极限的基本形式及其推广形式1.11sinlim0xxx(1)运用1sinlim0xxx这个极限时我们一定要注意以下几个方面：①分数线上面的x要与分数线下面的x要保持一致。②公式中的x一般要趋近于0,并且xxsin要符合00型的未定式。③式子中的x不但可以表示一个未知数，而且可以代表一个式子。④通过数学中的变量替换，我们知道当0)(lim0xgxx时1sinlim0xxx可以推广为1)()(sinlim0xgxgxx(2)⑤这一重要极限我们可以记做1sinlim0，其中代表一个未知量。1.2exxx)11(lim(3)或exxx10)1(lim(4)同样，在应用这个重要极限时我们也要注意几个方面：①同（1）式中的x一样，此处的x可以表示一个未知数x，也可以表示一个式子。②当)(lim0xgxx时有exgxgxx)())(11(lim0(5)或当0)(lim0xgxx时有exgxgxx)(1))(1(lim0(6)③由②中可以看出此处的x可以趋近于0，也可以趋近于，但必须与（3）和（4）中保持一致。④由（3）（4）（5）（6）我们可以看出公式中括号内加号后面的部分与括号外的3幂次互为倒数，并且基本形式与推广形式都可以转化为1这种类型的极限问题。⑤类比于1sinlim0，这一重要极限我们可以记做e)11(lim，其中代表一个未知量。2.求极限时两个重要极限的具体应用2.11sinlim0xxx及其推广公式的应用例1求xxxsin5lim0分析：由公式（1）我们可以直接得到解：xxxsin5lim0=551例2求xxx3sinlim0分析：观察题目我们看出，由于当x0时有3x0，如果我们把分母中的x变成3x就可以运用公式（2）来解这道题目，因此解：xxx3sinlim0=xxx3313sinlim0=3xxx33sinlim0=3例3求xxx3tan42sin3lim0分析：在解这道题时我们要先利用三角函数把tanx转化为sinx,然后再把分子和分母都转化为公式中的形式，再利用上面给出的公式，这样就可以解决这道题目。解：4xxxxxxxxxxxxxxxxxx3cos3sin2sin433cos3sin42sin33tan42sin33cos3sin42sin33tan42sin3limlimlimlimlim000002111213cos33sin22sin32433cos333sin222sin43limlimlim000xxxxxxxxxxxxxxx例4求420cos12limxxx分析：观察题目我们可以看到，题中有2cos1x，我们可以利用三角函数公式将其先转换成2sin2x，然后再利用上面的推广公式就可以很顺利的解决这道题目了。解：420cos12limxxx=4220)2(sin22limxxx=2220)22sin(212limxxx11212例5求131sin322limmmmm分析：通过观察可以看出，把分子上的未知数转化到分母上可以凑成推广公式的5形式，再利用其就可以计算出该题。解：13311sin131sin3222limlimmmmmmmmmm33113311sin2limlimmmmmmm2.2exxx)11(lim或exxx10)1(lim及其推广公式的应用例6求5)11(51limmmm分析：观察可以看出，先做一下等价变形，然后再利用基本形式就可以计算出答案。解：])11()11[(51)11(5155limlimmmmmmmm5)11()11(51limlimmmmmm51151e例8求xxxcos1cos2220lim分析：通过观察我们可以看出，先运用三角函数的二倍角公式把分子和分母都转化为正弦函数，然后再把分子和分母分别凑成推广形式，再利用公式即可解出这道题。解：6xxxcos1cos2220lim=220)2(sin22sin2limxxx111)2(sin222sin222220limxxxxx例7求xxx10)41(lim分析：在解这道题时，我们要注意括号中1之后的符号是正号还是负号解：xxxxxx1010)]4(1[)41(limlim4)4()41(0)]4(1[limexxx例8求12)2535(limxxxx分析：通过题目我们可以观察出这道题可以转化为1的形式，然后我们利用分离系数将其等价变形为我们熟知的求极限的形式，再利用上面的公式即可解决问题。解：1212)2511()2535(limlimxxxxxxx522512)25()2511(limexxxxx例9求13)3747(limxxxx7分析：通过观察我们可以看出，该道题可以转化为1的形式，我们利用分离系数把其转化为上面给出的形式，然后再利用公式即可解出。解：1313)37737()3747(limlimxxxxxxxx)13(377)37(13)3771()3771(limlimxxxxxxxxe3例10求xxxx310)211(lim分析：通过题目我们可以观察出这道题可以转化为1的形式，然后我们利用分离系数将其等价变形为我们熟知的求极限的形式，再利用上面的公式即可解决问题。解：xxxx310)211(lim=xxxxx310)21321(lim=xxxx310)1231(lim=xxxxxxxx311233120)1231(lim=e1小结：通过以上的例题我们可以看出，在利用两个重要极限来计算极限的时候，我们经常运用的是其推广形式，这就要求我们在学习这部分内容时不仅要记住最基本的形式，而且要真正理解这两个重要极限的内涵，熟练运用其推广形式，不能只是死记硬背，生搬硬套，而是要能够做到举一反三，熟练掌握。3.微分学中两个重要极限的运用极限在微分学中的应用很广泛，其中导数的定义就是由极限来定义的，而两个重要极限更是在推导一些重要极限的必备工具，比如说关于三角函数和幂函数导数的推8导。3.1cos)(sin推导过程：由导数的定义我们可以知道2sin22cos2sin)sin()(sinlimlim00a2sin22cos2lim022sin22coslimlim00cos1cos3.2sin)(cos推导过程：由导数定义得2sin22sin2cos)cos()(coslimlim00sin1sin22sin22sin2sin22sin2limlimlim0003.3loglog1)(emm推导过程：由导数定义得9loglimloglimlogloglimlog)1(00011)(mmmmmloglogloglim1lim11])1([)1(0101emvmvmvvvv以上几个实例说明了运用两个重要极限可以推导一些基本导数公式，而且有时候求导数时必须用两个重要极限，比如说cos)(sin等用其他的方法就很难求出，可见两个重要极限的用处之广泛。当然，两个重要极限的应用并不仅仅只有这些，比如在经济学中还有很广泛的应用，其实数学知识不在于举多少应用例子，关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值。参考文献：[1]华东师范大学数学系数学分析（上册）[M].高等教育出版社，2007.56-58.[2]何联毅曾捷.数学分析同步辅导及习题全分析[M].中国矿业大学出版社,2007.64-69.[3]苏德矿吴明华金蒙伟.微积分（上）[M].高等教育出版社,施普林格出版社,2001.35-39.[4]钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北长江出版社,2009.82-85.[5]彭英.浅谈两个重要极限的运用.太原科技大学[J],99-101.[6]王建福.高等数学习题全分析[M].中国矿业大学出版社,2007.68-72.[7]华东师范大学数学系数学分析（上册）[M].人民教育出版社,1981.71-80.[8]曾捷.数学分析同步辅导[M].中国矿业大学出版社,2007.62-67.[9]王伟珠.求极限计算中两个重要极限的应用分析[J].104-106.[10]龚怀云刘跃武陈红斌向淑晃.数学分析[M].西安交通大学出版社,2000.47-50.10