pade逼近

5．2pade逼近方法的简介5.2.1泰勒级数问题一个函数的泰勒级数展开式的系数，和这个函数的值之间的关系，既是一个深奥的数学问题，又是一个重要的实际问题。关于它的研究，是基于数学分析和物理、生物科学中的自然数学模型的实际计算的基础之上的。关于这个问题的某些方面已经有过一些研究，但是还有一些问题需要在今后继续研究。规范的解释是：如果泰勒级数展开式绝对收敛，那么它唯一确定了一个任意次可微的函数。相反的，如果一个函数是任意次可微的，那它也只有一个对应的泰勒级数展开式。实际上，我们把函数近似为一个尽可能长的多项式。然而，这种方法在实际运算中有一些很不理想的局限性[9]。考虑以下例子：4322/1128141161385211)121()(xxxxxxxf（5.18）很容易看出，当x0.5时，泰勒级数表达式均不收敛，尽管在x0时，)(xf是一个保持在21至的光滑适当的函数。规范方法是要在一个新点0x（5.000x），应用原来的表达式计算)(xf，作出一个新的泰勒级数表达式。这个新的表达式可以满足在x很大时的情况，但是不包括x处。实际上，用这种方法我们永远不能达到x，并且在这个方向上的任何进展都是非常冗长的。对于以上这个例子，我们可以应用一个特殊的技巧，将级数转变为一个较长的多项式。假设我们做一个变量代换：x=w/(1-2w)或者w=x/(1+2x)（5.19）就有：4322/11283516583211)1())((（5.20）所以，在这个变量代换下，x就变为w=0.5。很容易看出，泰勒级数表达式（5.20）收敛于w=0.5，即x。于是)(f的最初连续估计值是：1，1.25，1.34375，1.38281，1.39990……（5.21）可以看出它收敛于2=1.414…。根据最初的变量x，（5.20）可以表示为：,.......)21()8/43()2/9(1,21)2/5(1,122xxxxx（5.22）均是关于x的有理分式。5.2.2Pade逼近Pade逼近是一种关于函数值的特殊类型的有理分式逼近法。它的思想是以尽量快的速度与泰勒级数展开式相匹配[10]。举例来说，对于例（5.18），我们选择一个逼近模式：（a+bx）/(c+dx)（5.23）可见当x趋于无穷时，上式是有界的。如果我们应用（5.18）式的前三项系数做逼近，就可以得到以下的表达式：432128125322585211)4/5(1)4/7(1xxxxxx（5.24）对于此式，当x时，它的值是1.4，这个结果比（5.21）式中的任意一个结果都要理想。同理可算出下一个逼近结果是：413793103.12941)16/29(4/111)16/41(4/13122xxxx）（）（（5.25）这个结果与414213562.12已经非常接近了。继续以此方法作逼近，随着所选系数数量的增加，结果的收敛性很好，结果如下：1.414201183,1.414213198,1.414213552,…（5.26）其中的最后一个结果应用了（5.18）式中的前11项系数，且与标准结果只相差在810处。我们可以用同样的方法对（5.20）式做逼近，即将式（5.19）带入以上所求结果，有：1，ww431411，22165451161431（5.27）以上三个结果分别是应用（5.20）式的第一项、前三项、前五项得出的。可以注意到，当我们将w=0.5(即对应于x)带入（5.27）式中，就得到结果1，1.4，41/29，……。这些结果与我们计算关于x的级数展开式时所得到的结果对应一致。这种同一性是Pade逼近的一个普遍而且重要的特性，也正因为这种特性，可以在我们的例子中做出关于x的逼近，并且甚至在x处都可以得到很理想的结果。我们还可以观察到，（5.25）和（5.26）式的连续逼近值是单调的。虽然这不是一个普遍的特性，但是在多种情况下都可以证明它的成立。在实际问题中，它是一个非常重要的性质，通过它通常可以证明，Pade逼近在高范围和低范围内都收敛。现在我们将给Pade逼近和Pade表格做出定义：定义：我们将关于A(x)的Pade逼近记为：)(/)(]/[xQxPMLML（5.28）其中，)(xPL是一个次数最高为L的多项式，)(xQM是一个次数最高为M的多项式。由幂级数：0)(jjjxaxA（5.29）通过公式（5.30）可以确定多项式)(xPL和)(xQM的系数。)()(/)()(1MLMLxOxQxPxA（5.30）由于我们可以增加分子和分母的项数并且保持]/[ML不变，于是定义标准化条件为：0.1)0(MQ（5.31）最后需要注意，)(xPL和)(xQM必须是没有公因子的多项式。如果我们将)(xPL和)(xQM的系数表示如下：MMMLLLxqxqxQxpxppxP1101)(,)(（5.32）那么，由式（5.31），可以用)(xQM去乘以（5.30）式，就可以将系数公式线性化。我们可以将（5.30）式详细表示如下：0011111011220112110100MLMLMLMMLLLLLLLqaqaaqaqaapqaqaapqaqaapqaapa（5.33）同时要求：0na当n0且0jq当jM（5.34）1821年，Cauchy在它著名的文章“Coursd’Analyse”中首次写出了Pade逼近的建立过程。在这篇文章中，他研究了“递归级数”。在这种级数中，除了前几项，其它项的系数满足线性递归关系。（在这点上，Cauchy的研究是建立在DanielBernoulli关于求多项式的最小根系数的研究基础之上的）。Cauchy同时给出了一个归纳Lagrange插值多项式的公式，用它可以求出有理分式形式的函数在n个点处的函数值。Cauchy给出的这个公式起源于Jacobi’s在1846年的研究，正是由这个公式得出了Pade逼近方法。他将这个问题表示为行列式形式。他又研究了所有与函数值相符合的点均匀一致时的边界问题。在这个问题上，表达式相当于（5.33）式。在现代科学中，Jacobi是第一个给出Pade逼近方法的科学家。随后，Frobenius于1881年对Pade逼近的代数特性做了一次深入的研究，并且给出了一个关于在多数情况下分子和分母的次数不相同的Pade逼近的恒等式。Pade于1892年在一个半无穷排列或者表格中，将此逼近做了重新排列，并且研究了这个表格的结构，同时也研究了关于xe的逼近的特殊性质。但是我们注意到，Pade并没有在他后来的的文章中提到之前的这篇文献。我们对Pade逼近所做出的定义，与古典定义在很多方面都有不同。首先，是符号的不同。古典定义中，定义符号为：]/[],[MLLM（5.35）但是，不尽如人意的是，有些作者用的符号是：]/[],[MLML（5.36）所以我们采用了（5.28）式的符号，就是为了避免这种混淆。依照于惯例，我们用L表示分子的次数，用M表示分母的次数。继续依照惯例，用下式：JMLNML,（5.37）表示分子分母次数的和与差。更进一步讲，在数学方面非常重要的一点是：在标准化条件方面，我们的定义（5.31）与古典定义有很大的不同。Frobenius（1881）与Pade（1892）仅简单的要求)(xQM不恒等于零。这种不同可以在如下例子中说明：21)(xxA（5.38）对于1ML，很容易证明：1)(/)(,)()(1111xQxPxxQxP（5.39）并且满足：）1()()()(NLMxOxPxAxQ（5.40）而不是满足（5.30）式。实际上，从我们的定义出发，对于这个级数来说，[1/1]是并不存在的。5.2.3Pade逼近的方法根据Frobenius（1881）与Pade（1892）所做出的定义，可以得出以下定理：（我们在这里做出证明）：定理（唯一性）：当幂级数的Pade逼近存在时，它的]/[MLPade逼近的解是唯一的。证明：假设有两个Pade逼近解存在，令其分别为)(/)(xYxX和)(/)(xVxU，其中X和U的次数小于或等于L,Y和V的次数小于等于M。根据（5.30）式，且由于两个逼近求的是同一个问题，所以有)()(/)()(/)(1MLxOxVxUxYxX（5.41）再用)()(xVxY乘以(5.41)式，就得到：)()()()()(1MLxOxYxUxVxX（5.42）但是，（5.42）式的等式左侧是一个次数最高为L+M次的多项式，所以两端都为零。又因为Y和V都不得零，所以就有：VUYX//（5.43）所以，根据定义，X和Y，U和V都是互素的，并且Y(0)=V(0)=1.0，可以得出，我们假设的两个Pade逼近实际上是相同的。得证。以上定理对于退化和非退化方程均成立。如果方程是非退化的，当（5.34）式成立时，可直接求解：1detdet]/[111210111121MMMLLLLMLMLLjjjLMjjMjLMjjMjMLLLLMLMLxxaaaaaaxaxaxaaaaaaaML（5.44）并且，如果和中低次项的指数大于高次项的指数，那么令和为零。5.2.4Pade表尽管Frobenius(1881)最初将Pade逼近表示为双重指数列，但是，Pade（1892）第一个强调了将逼近值排成一张列表的重要性，并且研究了这样的表的结构。根据Pade逼近，我们可以做出这样格式的表：]4/4[]3/4[]2/4[]1/4[]0/4[]4/3[]3/3[]2/3[]1/3[]0/3[]4/2[]3/2[]2/2[]1/2[]0/2[]4/1[]3/1[]2/1[]1/1[]0/1[]4/0[]3/0[]2/0[]1/0[]0/0[（5.45）从表中可以看出，泰勒级数的部分和依次构成了表的行和列。值得注意的是，这张表是最初的Pade表达式（1892）和很多以后的表达式的转置矩阵。我们用以上所述的方法对函数xe做Pade逼近，可以得到，对于等式左侧，有：xx22]1/1[(5.46)22612612]2/2[xxxx(5.47)323212601201260120]3/3[xxxxxx(5.48)432432201808401680201808401680]4/4[xxxxxxxx(5.49)可以观察到，在x=1处，逼近的值服从：3e，19/7，193/71，2721/1001（5.50）其中最后一个值只在810处出现误差。5.2.5举例我们继续应用拆分法中的例子。由原有方程可看出，方程由yyy,,构成，而所给边界条件仅有两个已知量，所以必然有一个未知数，如上例中的即为未知数，需要用一种方法算出它的估计值，这里所用的方法即为pade逼近法。对于已求出的F求导，得到)(yF。在pade中，设未知数21210,,,,bbaaa，作出方程：44332210221)1)((yayayayaaybybyF，因为是逼近方法，所以令4,3aa均得零。此时为pade逼近的[2/2]阶。可知，22122101)(ybybyayaayF，(5.51)由已知，0)(F，将上式变形为21221201)(bybyayayayF，可见当y=时，分母不能得零，分子中前两项均为零，所以只能02a，而2a可以用未知数表示出来，则可求出。但需要指出的是，2a的表达式中带有21,bb，所以需要用0,043aa两个条件列出两个方程，求出21,bb，再将21,bb的值带入2a的表达式中，即可求出。