高等代数第八章-课堂练习题

第八章课堂练习题上页下页返回上页下页返回一.单项选择题1.n级λ-矩阵A(λ)可逆的充分必要条件是().C(A)A(λ)≠0;(B)|A(λ)|≠0;(C)|A(λ)|是一个非零常数;(D)秩(A(λ))=n.上页下页返回2.矩阵A与B相似的充分必要条件是A与B的().(A)特征多项式相同;D(B)最小多项式相同;(C)特征值相同;(D)特征矩阵等价.上页下页返回B3.矩阵A有一个不变因子为λ2+2λ，则下列结论正确的是().(A)A相似于对角矩阵;(B)A是奇异矩阵;(C)A的初等因子都是λ的幂或λ+2的幂;(D)A是非奇异矩阵.(因为λ=0为A的一个特征值.)上页下页返回C4.设矩阵A的特征多项式为(λ+1)(λ-1)3，最小多项式为(λ+1)(λ-1)2，则矩阵A的初等因子组为().(A)(λ+1)，(λ-1)3；(B)(λ+1)，(λ-1)2；(C)(λ-1)2，(λ-1)，(λ+1)；(D)(λ+1)，(λ-1)，(λ-1)，(λ-1).(由条件得d4(λ)=(λ+1)(λ-1)2,d3(λ)=λ-1,d2(λ)=d1(λ)=1.)上页下页返回B5.对下列任意n级矩阵A相似的一定是().(A)可逆矩阵A和它的逆矩阵A-1；(B)矩阵A和它的转置矩阵AT；(C)矩阵A和它的伴随矩阵A*；(D)矩阵A和PAQ，其中P,Q是初等矩阵.(因为λE-A与λE-AT等价)上页下页返回二.填空题1.已知矩阵A的初等因子组为λ,λ2,λ3,λ-2,(λ-2)2,(λ+2)2，则A的不变因子组为.则A的初等因子组为.λ-1,(λ-1)(λ+1),(λ-1)2(λ+1)2.2.已知矩阵A的非常数不变因子为d11(λ)=(λ+2)2(λ-2)2λ3,.d10(λ)=(λ-2)λ2,d9(λ)=λ,d8(λ)=…=d1(λ)=1λ-1,λ-1,λ+1,(λ-1)2,(λ+1)2上页下页返回3.已知矩阵A的初等因子组为λ,λ2,(λ-1)2,(λ-1)3，则A的Jordan标准形为.1100000001100000001000000001100000001000000000100000000000000000上页下页返回4.设A是n级矩阵，k为整数(1≤k≤n)，使得Ak=0，Ak-1≠0，则A的最后一个不变因子是.5.若A是n级非零矩阵，且A2=0，则A的Jordan标准形中Jordan块的最大级数是.2λk(因为A的最后一个不变因子为A的最小多项式λk.)(因为A2=0，A≠0，所以A的最小多项式为λ2，从而A的最后一个不变因子为λ2，故A的初等因子为λk，(1≤k≤2).)上页下页返回三.设矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-2)3(λ-3)2，试写出的A的所有可能的Jordan标准形.解因为矩阵A的特征值为2,2,2,3,3，所以A的所有可能的Jordan标准形为30000030000020000020000021J30000030000021000020000022J上页下页返回30000030000021000021000023J31000030000020000020000024J31000030000021000021000026J31000030000021000020000025J上页下页返回四.设A是n级矩阵，1是A的特征值，且A只有一个线性无关的特征向量，求A的Jordan标准形J.解由题意1是A的特征值，知A的特征多项式为f(λ)=|λE-A|=(λ-1)n，又A只有一个线性无关的特征向量,则秩R(E-A)=n-1，因此A的Jordan标准形J中只有一个Jordan块，否则秩R(E-J)n-1，于是得110011001J上页下页返回五.设A是n维线性空间V的一个线性变换，且A在基下ε1,ε2,…,εn的矩阵是一个Jordan块，证明；子空间Vi=L(εi,εi+1,…,εn)i=1,2,…,n是A-子空间,且任一A-子空间必是某一Vi(1≤i≤n).证明由题意设A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)J，其中10000001000J上页下页返回知道Aεi=λεi+εi+1，i=1,2,…,n-1Aεn=λεn.因此Aεj∈Vi=L(εi,εi+1,…,εn),(j=i,i+1,…,n)故Vi是A-子空间.设W是任一A-子空间，依顺序看ε1,ε2,…,εn，设第一个属于W的是εi(即ε1,ε2,…,εi-1不属于W).由此知WᆮVi.又由εi+1=Aεi-λεi∈W，…，εn=Aεi-1-λεn-1∈W.知ViᆮW.故得W=Vi证毕.上页下页返回六.求n级矩阵A的Jordan标准形.解通过计算，易知A的最小多项式为dn(λ)=(λ-n)n，所以A的Jordan标准形为nnnnnnnA000300210121nnnnA1000001000010000