高等数学(本科)第四章课后习题解答

1习题4.11．填空题.（1）xdx2sinx2sin，xdxd2cosxdx2cos；（2）x1的一个原函数是xln，而21x原函数是x1；（3）设Cxedxxfxsin，则xfxexcos；（4）设Cexdxxfx22，则xfxexx212.2．判断题（1）Cxln是x1的所有原函数；（×）.（2）CxFdxxf；（×）.（3）x1是21x的一个原函数；（×）.（4）Cdxxx2ln.22.（√）.3.选择题。（1）下列等式正确的是（D）(A).xfdxxf(B).Cefdxefxx(C).Cxfdxxf(D).Cxfdxxfx221211（2）若xf的一个原函数是xsin，则xdf（D）(A).Cxsin(B).Cxsin(C).Cxcos(D).Cxcos（3）dxxmn（B）(A).Cxmnmmnm(B).Cxnmmmnm(C).Cxnnmnmn(D).Cxnmnnmn（4）若Cedxxfexx11，则xf（）(A).x1(B).21x2(C).21x(D).x1４．求下列不定积分。（1）．dxx21；（2）．dxxx；（3）．xxdx2；（4）．dxx35；（5）．dxx221；（6）．dxxx232；（7）．dxxx113；（8）．ghdh2；（9）．dxxx221；（10）．dxxxx1133224；（11）．dxxxx21；（12）．dxxx221213；（13）．dxxex32；（14）．dxxeexx1；（15）．dxxxx2.33.23；（16）．dxxxxtansecsec；（17）．dxx2cos2；（18）．xdx2cos1；（19）．dxxxxsincos2cos；（20）．dxxxx22sincos2cos。解：（1）．Cxdxxdxx1122；（2）．dxxxCxdxx252352；（3）．xxdx2Cxdxx232532；（4）．dxx35Cxdxx43455；（5）．dxx221dxxx1224Cxxxdxdxxdxx352432512；（6）．dxxx232Cxxxdxxdxdxx2233123232；（7）．dxxx113dxdxxdxxdxxdxxxx2322321Cxxxxdxdxxdxxdxx23253232325231；（8）．ghdh2CghChgdhhg22.212121；3（9）．dxxx221dxxx22111Cxxdxxdxarctan112；（10）．dxxxx1133224dxxxx1113222Cxxdxxdxxarctan113322；（11）．dxxxx21Cxxdxxdxxdxxx4154741143432154741；（12）．dxxx221213dxxdxx22112113；Cxxarcsin2arctan3（13）．dxxex32Cxedxxdxexxln32132；（14）．dxxeexx1Cxedxxdxedxxexxx2121；（15）．dxxxx2.33.23dxdxdxxx323232.32Cxx32ln3232；（16）．dxxxxtansecsecCxxxdxxxdxsectantansecsec2；（17）．dxx2cos2Cxxxdxdxdxxsin21cos21212cos1；（18）．xdx2cos1Cxxdxxdxtan21sec211cos2122；（19）．dxxxxsincos2cosCxxdxxxdxxxxxcossinsincossincossincos22；（20）．dxxxx22sincos2cosxdxxdxdxxxxx222222seccscsincossincos；Cxxtancot。5．一曲线通过点3,2e，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。解：设所求曲线的方程为xfy，由题意知4xxf1①故可设Cxdxxxfln1②由因为曲线xfy通过点3,2e，知32ef，将此条件代入②，解得1C。所以，所求曲线为1lnxy6．证明函数12arcsinx、x21arccos、xarcsin2、xx1arctan2都是xx11的原函数。证明：因为xxxxxxx112.14112121112arcsin2，所以12arcsinx是xx11的原函数。同理可证x21arccos、xarcsin2、xx1arctan2也是xx11的原函数。习题4.21．填空题.（1）dx91xd9；（2）dx7137xd；（3）xdx212xd；（4）xdx10125xd；（5）dxex221xed2；（6）dxex2221xed；（7）xdx51xdln5；（8）291xdx31xd3arctan；（9）21xdx1xdarcsin1；（10）21xxdx121xd；2．若CxFdxxf，则（1）dxefexxCeFx；（2）dxxxfcossinCxFcos；5（3）dxxxf12CxF1212；（4）dxxfx1CxF2；3．选择题.（1）设xexf，则dxxxfln（B）(A).Cx1(B).Cx1(C).Cxln(D).Cxln（2）设xf连续且不等于0，若Cxdxxxfarcsin，则xfdx为（D）(A).Cx232132(B).Cx232131(C).Cx232132(D).Cx232132（3）dxxex（C）(A).Cex(B).Cex21(C).Cex2(D).Cex（4）dxxx2ln11（A）(A).Cx)arcsin(ln(B).Cx)arccos(ln(C).Cx)arctan(ln(D).Cx2)(ln14．求下列各题的不定积分.（1）．dxex5；（2）．dxx323；（3）．xdx21；（4）．332xdx；（5）．dteatbtsin；（6）．dtt3cos2；（7）．dtttsin；（8）．dxxx210sectan；（9）．xxxdxlnlnln；（10）．xxdxcossin；（11）．xxeedx；（12）．dxxex2；6（13）．dxxx2cos；（14）．dxxx232；（15）．dxxx4313；（16）．dxxx321；（17）．dxxxx4sin1cossin；（18）．dxxx3cossin；（19）．dxxx2112；（20）．dxxx2491；（21）．xdx3cos；（22）．dxxxxx3cossincossin；（23）．xdxx3cos2sin；（24）．dxxx2coscos；（25）．dxxx7sin5sin；（26）．dxxxsectan3；（27）．dxxxx1arctan；（28）．221arcsinxxdx；（29）．dxxxx2lnln1；（30）．)0(222axadxx；（3）．dxxx92；（32）．)0(322axadx；（33）．)0(322aaxdx；（34）．)0(322aaxdx．解：（1）．dxex5Cexdexx5551551；（2）．dxx323CxCxxdx4432381423.21232321；（3）．xdx21Cxxdx21ln212121121；（4）．332xdxCxCxxdx3232312123.31323231；（5）．dteatbtsinCbeatabtdebatatdabtbtcos1sin1；（6）．dtt3cos2Cttttddtdtt6sin1212166cos1212126cos1；（7）．dtttsinCttdtcos2sin2；7（8）．dxxx210sectanCxxdx1110tan111tantan；（9）．xxxdxlnlnlnCxxdxlnlnlnlnlnlnln1；（10）．xxdxcossinCxxxxddxx2cot2cscln22csc2sin2；另解：xxdxcossin.tanlntantan1tansec2Cxxdxdxxx（11）．xxeedxCeededxeexxxxxarctan11122；（12）．dxxex2Cexdexx2221212；（13）．dxxx2cosCxxdx222sin21cos21；（14）．dxxx232Cxxdx222322.613232161；Cx23231（15）．dxxx4313Cxxdx4441ln4311143；（16）．dxxx321CxCxxdx23323333192132.311131；（17）．dxxxx4sin1cossinCxxdx2222sinarctan21sinsin1121；（18）．dxxx3cossinCxCxxdx223sec21cos121coscos1；另解：dxxx3cossin.tan21tantancos1.cossin22Cxxxddxxxx（19）．dxxx2112xxdxdxxdxxxarcsin11111122222Cxxarcsin122（20）．dxxx2491dxx2491xdxx2491822224949181223121xdxxdxCxx2492.8132arcsin21Cxx2494132arcsin21；（21）．xdx3cosCxxxdxxdxx322sin31sinsinsin1cos.cos；（22）．dxxxxx3cossincossin