中考数学：隐圆模型解题策略及答案详解

第1页共7页中考数学专题复习系列：让圆不再有隐形的翅膀——“隐形圆”模型的解题策略【试题呈现】1.如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________。2.（2016·淮安）.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．第2题图第1题图第2页共7页3.(2016·安徽)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为．变式1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1,P为△ABC内一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为．变式2.如图，在△ABC中，AC=BC=AB=2,P为△ABC内一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为．变式1变式2第3题图第3页共7页课堂总结：考情及解题策略分析：①“隐形圆”问题是近几年各市中考的热点，也是“路径轨迹”和“最值”问题的一种情况。②“隐形圆”考试题型分类有两大类：1°定点对定长（即圆的定义），2°定边对定角（即圆周角的性质：同弧所对圆周角相等）【练习巩固】1.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_______度。2.（2014·成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______．3.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将点D沿过A点的直线折叠，点D的对称点为D’，则线段CD’的最小值为．4.如图，正方形ABCD的边长为6，G为CD边中点，动点E、F分别从B、C同时出发，以相同速度向各自终点A、B移动，连接CE、DF交于点P，连接BP，则BP的最小值为．5.（2017·烟台）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．第1题图第2题图GPFADBCE第3题图第4题图第5题图第4页共7页【拓展延伸】1.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB,BC于E、F，则EF的最小值为_______________.2.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0，-6），C的坐标为（0,7），点P是坐标平面内一个动点，且PC=5，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是_______________。第5页共7页参考答案详解【试题呈现】1.（定点对定长）分析:由DA=DB=DC可得点D即为定点（圆心），DA,DB,DC为定长（半径）。以点D为圆心，DA（或DA、DC）为半径作圆。可得∠ACB=21∠ADB（同弧所对圆周角是圆心角的一半）∵DA=DB∴∠DAB=∠DBA=20°在∆ABD中，∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=140°∴∠ACB=21∠ADB=70°2.（定点对定长）分析：由折叠知FC=FP，由CF=2可得，无论如何翻折，点F是定点（即为圆心），FC=FP是定长（即为半径）（始终抓CF=PF，动点P到定点F的距离始终不变，）。以点F为圆心，FP（或FC）为半径作圆（无论点E如何运动，点P的运动轨迹在圆弧上运动）→点P到直线AB的最小值即转化为直线AB到圆的最小值问题。过点F作FH⊥AB。（PH长即为点P到直线AB的最小值）由折叠知FC=FP=2，则AF=AC-FC=4,AB=10由Rt∆AFH~Rt∆ABC得：∴点P到直线AB的最小值为1.23.（定边对定角）解：∵∠PAB=∠PBC，∠PBC+∠ABP=90°∴∠PAB+∠ABP=90°即∠P=90°（AB为定边，∠P为定角，始终为90°，）根据直径所对圆周角为直角，可得点P的运动轨迹以AB为直径的圆。CP的最小值即转化为“点到⊙O的最小值”问题。在Rt∆OBC中，∴PC=OC-OP=∴CP长度的最小值是．4,1083.23.221.2AFFHABBCFHFHPHFHFP22223110OCBCOB101101补充：直线到圆的最值模型补充：点到圆的最值模型第6页共7页参考答案：【练习巩固】1.（定点对定长）以A为圆心，AB（或AC、AD）为半径的圆，∠CBD=21∠CAD=38°2.（定点对定长）如图：ME=2,CE=3在Rt∆MCE中，∴CA=MC-MA=7-1∴A′C长度的最小值是7-1．3.（定点对定长）此题点E为动点、点A为定点，由折叠知，始终有AD=AD’。点D’的运动轨迹是以点A为圆心，AD(或AD’)为半径的圆。CD’最小值就转化为点C到⊙A的最小值。CD’=AC-AD’=10-6=44.（定长对定角）∵动点E、F分别从B、C同时出发，以相同速度相同∴BE=CF∴∆BCE≌∆CDF∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°∴∠2+∠3=90°即∠DPC=90°（DC为定边，∠DPC为定角，始终为90°，）根据直径所对圆周角为直角，可得点P的运动轨迹以CD为直径的圆。BP的最小值即转化为“点B到⊙G的最小值”问题。BP=BG-PG=53-35.（定边对定角）同第2题，通过导角得到∠AHB=90°.根据直径所对圆周角为直角，可得点H的运动轨迹以AB为直径的圆。2222327MCECME第7页共7页由∆ADG≌∆CDG可得∠1=∠2由∆ABE≌∆DCF可得∠2=∠3∴∠1=∠3∵∠1+∠4=90°∴∠3+∠4=90°即∠AHB=90°（AB为定边，∠AHB为定角，始终为90°，）根据直径所对圆周角为直角，可得点H的运动轨迹以AB为直径的圆。DH的最小值即转化为“点D到⊙O的最小值”问题。∴DH=OD-OH=5-1