高等数学极限习题500道

．求证：存在，且，＝时，设当000limlimlim)()(11110xxxxxxooxx　　　答（　　）　　　　　　　　　　．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos)(1)1()(0312DCBAaxxaxxx（　　）　　　　　　　　　答　　　　　　　　　　　　　　　　　阶的是时，下述无穷小中最高当xxDxCxBxAxsin11cos1022之值．求)12ln()12ln(limnnnn．求极限)2sin()1(lim2nnnn．求极限)11ln()21(limnnn_____________sin1lim3202的值xxxexx．及求证：，，设有数列nnnnnnnnnnaaayaaaabbaaalim)(limlim2)(11221．及，求记：，　．，设nnnnnnnnnnnnxyxxyxxxxxabbxaxlimlim112)0(111221求极限之值．lim()cossinxxxxx0212设，；且试证明：．lim()lim()lim()()xxxxxxvxBuxAAvxBuxA0000　　　答（　　）　　　　　　　　　　．　　．　　．　　．2ln01)1ln(lim2)1(11DCBAxxx　　　答（　　）　　　　　　　　　　．　　．　　．　　．21)21(lim2sin0DeCeBAxxxx的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim)(lim11)(lim)(.1sin1)(0012xuxufxuuufuufxxxuxxu_____________69lim223的值等于xxxx．不存在　　．　　．　　．DCBAeeeexxxxx1231234lim答：（）lim()()()....xxxxABCD2361112335853　　　不存在答：（）____________)61()31()21(lim1522010xxxx____________lim0的值等于xxxeex．求极限123lim2331xxxxxx求之值．lim()xxxxx03416125已知：，问？为什么？lim()lim()()lim()xxxxxxuxuxvxAvx0000关于极限结论是：　　　　　　　　　不存在　　　　　　　　　　　　　　答（　　）limxxeABCD015353054答（　　）　　　　　　　　　　，则极限式成立的是，设)(lim.)()(lim.)()(lim.0)()(lim.)(lim)(lim)(000000xgxxxxxxxxxxxxxfDxgxfCxfxgBxgxfAxgAxf是不是无穷大量．时，，问当)(cos)(xfxxexfx　　答（　　）　　　　　　　　　　　　　不存在　　2.2...0.1arctantanlim0DCBAxxx答（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　2.1..0.)arctan(lim2DCBAxxx___________)0(23)(1fexfx，则设　　　答（　　）　　　　　　　　　　　　不存在　　　　2....0.1cotarclim0DCBAxxlimcosln....xaxxaABCD0100123，则其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）____________cos13lim20的值等于xxeexxxlim(cos).....xxxABCD0212220　　　　　　不存在　　　答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；　　、各取何值时，；　　、各取何值时，．fxpxqxxpqpqfxpqfxpqfxxxx()()lim()()lim()()lim()2555112031求极限．lim()()()()xnnnnxxxx2222222211求极限．lim()()xxx32232332之值．、、试确定已知CBAxxcxBAxx0)1()1()1(3lim2241之值．，，，试确定常数．，，满足已知dcbaxfxfxxdcxbxaxxfxx0)(lim)2(1)(lim)1(2)(1223之值．，，试确定已知baxxbxbax4313)(lim1为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若)(1lim0)(lim00xxxxxx当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．xxfxgxAxxfxgxxx000()lim()()()．用无穷大定义证明：112lim1xxx．用无穷大定义证明：xxlnlim0xxtanlim02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：11lim01xx．用无穷大定义证明：)4(lim3xxx．其中用无穷大定义证明：)10(loglimaxax若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）xxxxxxAxxBxxCxxDxx002221()().()()()()()()()ln()()()()()＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（　　）xxxxxxABCD00()()()()()()＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（　　）xxfxAfxAABCDxx00()lim()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是　　　．lim()lim()()lim()()lim()()()xxxxxxxxfxgxgxfxgxbfxbgxgx00000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0limaann．　　：用数列极限的定义证明)10(1lim1aann．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2nnnn___________)1ln(2)cos(sin1lim20的值等于xxx之值．求极限3sin01)(coslimxxxx求极限之值．lim(sin)xxxxx0311____________1)sin(coslim220xxxxx_____________1)21(lim230xxxx__________1)sin1(lim0xxxx______________1)(coslim3sin20xxxx求极限之值．lim()xxxxx21111．时　试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000xuxxxxxxxxxuxx．求证：存在．，，时，设当AxuxxAxuxxxxxoxxxxxxxx)()()(lim)0()()()(lim)(~)()()(0)(11000求之值．lim()()()xxxx05721312211设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．xxxxxxxxxxxxAxxxxxxxxxx01111111000111()()()()()~()()~()lim()()lim()lim()()()设当，，都是无穷小，且，试证明：．xxxxxxxxxx0001()()()()()~()()())()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim)(~)()()(1110000是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当axxxxAxxxxxxxxaxxaxxxx．用数列极限的定义证明0!1limnn成立．时恒有　存在，使当试证必有正整数．，且设22limCAxABNnNCABAxnnn设有两个数列，满足；　　为定数．试证明：．xyxyMMxynnnnnnnn()lim()()lim()1020设，求证：．lim()lim()xxxxfxAfxA00求极限limsinsinxxxx021求极限limcosln()coslnxxx1求极限．limsinxxx011求极限．limarctanxxxx2112求极限lim()xxxe11求极限limarctanarcsinxxx1求极限．limxxx012122)sin1(sinlimnnn求数列的极限AxfAufuxuxxxuuxx)(lim)(lim)()(lim00000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。fxxxabxafxxbfx()ln()()1设，问：当趋于何值时，为无穷小。fxxxxfx()tan()2．该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim)(lim000xfxgxABBxgAxfxxxx设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim()()()xxfxAxxxxxxfxfx000010201221．，试用极限定义证明：已知：AxfAxfxxxx)(lim0)(lim00是否也必发散？同发散，试问数列与若数列nnnnyxyx求的表达式fxxxxnnn()lim2121设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．fxxxabxxabafxabfxffxfnnnxx()limsincos()()()()()lim()()lim()()2121121021211求的表达式fxxnn()lim(ln)11221的表达式．求nnnnnxxxxxf12lim)(．，求，设)(lim)()()()(1)(33)(22xfxfxxxxfxxxnnnn求的表达式．fxxxxxxxxnn()lim()()11122221求的表达式．fxxxnnn()lim1．，求，其中设nnknkknSkbbkSlim)!1(1求的表达式。fxxxxxxxnnnn()lim()()()1121212222．的表达式，其中求01)1(1)1(lim)(xxxxxxfnnn．其中．求数列的极限)0()(23)(23lim11bababannnnn求数列的极限．lim()nnnn53323求数列的极限．lim()nnn123453212．，其中求数列的极限1)321(lim12qnqqqnn求数列的极限其中．lim()()()()()()()()naaaaaaananana11211231110)12)(12(1531311limnnn求数列的极限．求数列的极限