矩阵理论ppt

矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的，但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得尤为重要．本节将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．特殊矩阵的特征值：实对称矩阵（厄米特矩阵）：特征值在实轴上幂等矩阵：特征值为0或1正交矩阵（酉矩阵）：特征值位于单位圆上4.5特征值的估计一.特征值的界定理：设的特征值为，则()nnijAaC1,,n111max()nlijjniaA11max()(1,2,,)nlijinjaAln221,1()nnlijlijaSchur证明由舒尔定理，存在酉矩阵U使得TAUUH．其中T为上三角矩阵，T的对角线元素iit),,2,1(ni为A的特征值，于是nii12||221212||||||FjiijniiiniiiTttt．由于在酉相似下矩阵的F范数不变，所以nii12||22FFAT．结论中等号成立当且仅当0||2jiijt．即T为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当A酉相似于对角阵，即A为正规矩阵．例已知矩阵0100012323iiiA的一个特征值是2，估计另外两个特征值的上界.解因为所以,2542FA.53,2二.特征值的包含区域定义设称由不等式,)(nnijCaAiiiRaz在复平面上确定的区域为矩阵A的第i个Gerschgorin圆（盖尔圆），并用记号来表示.其中称为盖尔圆的半径nijjijiiaARR1)(iGiG).,,1(ni定理（圆盘定理1）设nnijCaA)(，则A的一切特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内，即A的任一特征值满足iniSS1．证明设为A的特征值，其对应的特征向量为)0(xx，即xAx，写成分量形式为njijijxxa1，（ni,,2,1）或nijjjijiiixaxa1)(．（ni,,2,1）设tx为x的各分量中模最大的一个，则0tx，在上式中当ti时有ntjjjtjtttxaxa1)(，两边除以tx并取模得ntjjtjtjttxxaa1||||tntjjtjRa1||，所以tS，即iniSS1．例估计矩阵41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A的特征值的范围.解A的4个盖尔圆为6.04,8.118.03,6.01zzzz在复平面的图：那么，A的全部特征值就在这四个盖尔圆并起来的区域之中.连通区域：区域中的任意两点都可以用位于该区域内的一条折线连接起来的区域.连通部分：交结为一起的盖尔圆所构成的最大连通区域.定理（圆盘定理2）在矩阵A所有盖尔圆组成的任一连通部分中，含有A的特征值的个数等于该连通部分的盖尔圆的个数.由圆盘定理2可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特征值，由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值，但可能这两个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．例矩阵05.08.01A的特征方程为04.02，所以A的特征值为26.011i，26.012i．A的两个盖尔圆为8.0|1|z，5.0||z．由于5.063.04.0||||21．所以这两个特征值都不落在圆盘5.0||z内．推论1设n阶矩阵A的n个盖尔圆两两互不相交（都是孤立的），则A相似于对角矩阵．证明因为A为实矩阵，所以A的n个盖尔圆都关于实轴对称．又由这n个盖尔圆两两互不相交知，A的n个特征值互不相等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定在该盖尔圆内，这与圆盘定理2的结论相矛盾，所以A的特征值都是实数．推论2设n阶实矩阵A的n个盖尔圆两两互不相交，则A的特征值全为实数．例证明n阶矩阵nnnnnnnnnnA211111411122能与对角矩阵相似，且A的特征值都是实数．证明A的n个盖尔圆为1S：1|2|z，kS：nnkz1|2|．),,3,2(nk它们两两互不相交，又因为A为实矩阵，所以由推论2知A的特征值都是实数．定义设nnijCaA)(，则称圆盘},||{CzRazzSjjjj为矩阵A在复平面上的第j个列盖尔圆（nj,,2,1），其中njiiijjjaARR1||)(（nj,,2,1）称为jS的半径．因为矩阵A与TA有相同的特征值，所以若对矩阵TA应用圆盘定理1与圆盘定理2，则得到关于矩阵A的列的圆盘定理．推论3设nnijCaA)(，则A的一切特征值都在它的n个列盖尔圆的并集之内，即A的任一特征值满足jnjGG1．推论4设矩阵A的n个列盖尔圆中有k个互相连通且与其余kn个不相交，则这个连通区域中恰有A的k个特征值(当A的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相同时也按重复次数计算)．推论5设nnijCaA)(，则A的一切特征值都在平面区域)(1iniST)(1jnjG之中．取行盖尔圆的并集与列盖尔圆的并集的交一般可以得到比较满意的特征值估计．例隔离矩阵iiA225.05.025.05.0125.05.025.002125.025.025.05.02的特征值．解A的四个行盖尔圆为:1S1|2|z，:2S5.0|)21(|iz，:3S25.1|1|z，:4S25.1|)22(|iz．其中1S与2S是孤立的圆盘，因而各含有A的一个特征值，3S与4S连通，并集43SS含有A的两个特征值．A的四个列盖尔圆为:1S1|2|z，:2S25.1|)21(|iz，:3S75.0|1|z，:4S1|)22(|iz．其中3S与4S是孤立的圆盘，因而含在43SS内的两个特征值一个在3S内，一个在4S内．盖尔圆定理的应用：矩阵特征值的隔离.设构造对角矩阵,)(nnijaA12(,,,)nDdiagddd其中都是正数.由于12,,,nddd1()iijnnjdBDADad所以B与A的特征值相同.例隔离矩阵的特征值.iA102111048.0520解A的3个盖尔圆为310;510,8.520321izGzGzG：：：3G2G1G选取D=diag（1，1，2）则iDADB10425.01044.05201的3个盖尔圆为610;5.410,4.520'3'2'1izGzGzG：：：'3G'2G'1G因为5.4+4.5=9.910，4.5+6=10.52105.4+6=11.410，所以互不相交，因而3个特征值在分别在该3个盖尔圆中.5'3'2'1,GGG与例如果矩阵按行（列）严格对角占优，则,)(nnijaA.0detA证设是A的任一特征值，则存在i使,iG于是可得ijijiiiaRa如果则有,0ijijiiaa这与A按行严格对角占优矛盾，故应有,0所以.0detAG3G1i2210i2122121412141214141414121A例解A的四个盖尔圆为，12:G1z21i21:G2z，451:G3z45i22:G4z画在复平面上如图：于是A的全部特征值在这四个估计矩阵的特征值范围。012-1-2i2i-i-2iG2G4盖尔圆的并集中。i2210i2122121412141214141414121A例解A的四个盖尔圆为估计矩阵的特征值范围。，12:G1z21i21:G2z，451:G3z45i22:G4zG3G1012-1-2i2i-i-2iG2G4A的四个列盖尔圆为，12:G~1z45i21:G~2z，431:G~3z1i22:G~4z画在复平面上如图：可见A的四个特征值位于4321G~G~GG，，，中，四个孤立圆盘且各圆盘中仅有A的一个特征值。1G~4G~2G~3G~例9.014.001.001.05.002.002.011.01A分布范围，解A的三个盖尔圆为，13.01:G1z，03.05.0:G2z15.09.0:G3z试估计矩阵的特征值并适当选择一组正数，使A的三个盖尔圆互不相交。作图:G3G2G100.51.02G~G2取1231,10,1，diag(1,10,1)，D则1BDAD9.0014.001.01.05.02.002.0011.01B的三个盖尔圆为：，031.01:G~1z，3.05.0:G~2z024.09.0:G~3zG3G100.51.0综合考虑知，321G~GG~，，中各有A的一个特征值。在1G~3G~