2009年数学建模-B题-眼科病床安排模型【一等奖】

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学参赛队员(打印并签名)：1.苟常兴2.叶知秋3.李立蓉指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：尉洪日期：2009年9月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1眼科病床的合理安排摘要针对医院病床的合理安排问题，文中通过建立三种不同的排队论模型，展开病床分配策略的讨论，使医院的病床资源得到了有效利用。针对问题一，为了在医院管理中对病床工作效率进行正确分析，我们确定了四个评价指标：病床周转次数、等待住院病人队列长度、术前准备时间和病床利用率。应用上述四个指标对该医院现有的病床安排进行了综合评价。利用TOPSIS法[1]、[2]确定了一个评价病床工作效率的综合指标C，通常C处于0到1之间，C取值越大，病床工作效率越高。利用该指标对现行已有的分配方案进行评价，得到C的平均值为0.6724，且C呈现递减趋势，说明现行的病床工作效率并不高。针对问题二，问题处理为一个并串随机服务系统[3]，考虑到对病床的合理安排主要受到问题一中评价指标的影响，而等待住院病人队长及病床周转次数都受术前准备时间的影响，因此建立以术前准备时间最优为指标的优化规则。基于第二天拟出院人数和等待队列情况，利用计算机模拟[4]的方法确定第二天的入住安排。以9月12日-18日一周时间为例，得出每种病的入院安排情况，比如12日安排青光眼、视网膜疾病和外伤患者各一人。平均术前等待时间如下表：病人种类青光眼视网膜疾病单眼白内障双眼白内障外伤平均术前等待时间(天)2.52.51.71.91针对问题三，根据现有数据，分析得到入院等待时间服从正态分布，利用normrnd函数来产生各类病人入院等待时间的随机数，模拟出一个病人的入院时间。通过仿真模拟得到，白内障单眼、白内障双眼、青光眼和视网膜疾病的大致入院时间区间为10—15天、10—14天、9—15天和10—15天，其中外伤的入住天数为一天固定不变。针对问题四，比较分析了3种可行的白内障手术安排时间，确定出周三与周五是最佳的手术时间。然后调整问题二的优化规则，重新求解问题二中12日至18日的入院情况及平均术前准备时间。比如12日青光眼2人和视网膜疾病1人入院。平均术前等待时间如下表：病人种类青光眼视网膜疾病单眼白内障双眼白内障外伤平均术前等待时间（天）2.12.11.31.71针对问题五，综合考虑各类病人占用病床比例大致固定和FCFS的服务策略，初始设定各类病床的参考基数，结合波动系数形成约束条件，以所有病人的平均逗留时间最短为目标，建立整数线性规划模型，求出最佳病床分配比例如下表：白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病外伤24.05%27.85%10.13%21.52%16.46%关键字：TOPSIS法病床工作效率并串随机排队计算机模拟正态分布并行随机排队整数线性规划2一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、模型假设1.假设每天到医院门诊的人数服从泊松分布；2.只要门诊过的病人都会等到入院；3.白内障手术较简单，没有急症；4.外伤属于急症，只要有空病床，第二天便安排住院；5.医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制；6.考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术不在同一天做。7.青光眼与视网膜疾病术前准备时间在2-3天里均匀分布3三、符号说明X1病床周转次数X2排队长度X3入院到手术时间X4病床利用率Z归一化矩阵Zmax最优矩阵Zmin最劣矩阵Dmax评价对象与最优值的距离Dmin评价对象与最劣值的距离C评价对象与最优值的相对接近程度Tin各类病人入院时间Ts病人到医院门诊时间i病的种类，题中有四种Rii类病人的人数Pi各类病人门诊时间到入院时间的均值S各类病人门诊时间到入院时间的方差que队列长度men门诊人数ti同一类病人从入院到出院的时间的均值λ不同种类病人的比例Ai同种类病的参考床位数Ki波动系数xi各类病人的床位数四、问题分析问题一中针对医院病床的管理问题，提出对医院病床安排模型的的评测。我们认为合理安排病床的综合评价应该从影响病床工作效率的几个指标出发。通过对医院管理的相关书籍的了解，我们将病床周转次数、队列长度、入院到手术时间和病床利用率作为评价病床工作效率的四个评价指标。利用医院管理中常用到的TOPSIS法来建立一个评价模型，得出一个评价病床工作效率的C值，对医院现有的病床安排模型作出合理性的评价。问题二要求就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，此模型能够根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。为此我想到了建立不同病的安排入院规则即优先安排外伤病员，星期一、二优先安排入住顺序为白内障单眼、青光眼和视网膜疾病，星期三、四、五优先安排入住顺序为青光眼、视网膜疾病，周末优先安排入住顺序为白内障双眼、白内障单眼、青光眼，且对同一种病实行FCFS规则。在问题三中，作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。所以我们根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，建立了一个简单但实用的预测模型，在病人门诊时就能预测出此类病人的大致入住时间区间，将此信息告知病人，能够很有效地为病4人做到优质且全面的服务。在问题四中，若该住院部周六周日不安排手术，那么该医院的手术就只能安排在周一至周五，若不及时调整医院手术安排，可能会让医院运转度受到相应的影响，比如说等待手术的病人队列会变得越来越长，手术医生的任务会越来越重，所以，对医院的手术安排作出合理的调整是相当重要的。为了有一个合理的手术安排时间，我们要探索对安排手术进行的最优时间。问题五中，针对文中第五问的要求通过采取使各类病人占用病床的比率大致固定的方案，来让所有的病人的平均逗留时间（含等待入院即排队时间和住院时间两个部分）最短。显然我们可以通过规划的方法来让目标函数达到全局最优（即平均的时间最短）。我们可以假设当采用一定的比例分配床位以后，那么针对不同的病的类型我们可以将单独的一类病的系统视为具有一定的独立性，而且是动态平衡的（即输入和输出通过一段时间的波动系数之后相等，而队列长度的长度可以保持不变）。这样就构成了一个并联的，独立的排队服务系统。理论上就存在一个不同病类的床位比例让平均逗留时间最短。五、模型的建立和求解5.1模型一的建立与求解5.1.1模型一的建立根据题目的要求和医院的相关管理制度，我们确定了病床周转次数X1、队列长度X2、入院到手术时间X3和病床利用率X4四个评价指标，应用TOPSIS法综合评价医院病床安排模型。TOPSIS法的具体步骤如下：[1]用原始资料建立原始矩阵X，并使趋势高优指标病床周转次数X1和病床利用率X4的值保持不变，让低优指标队列长度X2和入院到手术时间X3用倒数法转化为高优指标，即221'*100XX，331'*100XX，得到下列矩阵11121m21222mn1n2nmXX...XXX...X'...XX...XX（1）[2]将同趋势化后的矩阵做无量纲归一化处理，得到资料矩阵2()ijnijiXZX（2）[3]确立最优向量maxZ和minZ；[4]确立各评价对象与最优值和最劣值之间的距离2maxijjmax1(Z-Z)mjD（3）52minijjmin1(Z-Z)mjD（4）[5]计算各评价对象与最优值的相对接近度iminimaximinDC=D-D（5）（C即为评价病床安排模型的综合指数值。）5.1.2模型一的求解我们根据TOPSIS法的建模步骤，利用MATlAB编写程序得到了评价医院病床安排模型优劣的综合指标值C，且C值越大越好。运行程序（见附录），得到的C值如下表所示：表1医院43天来的病床安排评价综合指数值C0.770630.796660.820330.838470.773630.769430.910630.899610.730450.821940.797620.753980.640330.705070.35540.187680.58990.717210.906890.685580.529390.619160.415610.754860.841790.697680.547440.75230.642210.305350.522070.738770.825820.619160.436630.560480.423770.897190.712530.837210.734110.567470.45892由上表求出C的平均值为0.6724。为了体现出C值的变化趋势，用lstOpt软件对TOPSIS模型得到的数据进行拟合，得到的结果如下所示：Function：y=p1+p2*x+p3*x^1.5+p4*x^2*Ln(x)+p5*x^0.5*Ln(x)其中