立体几何中的建系设点

-1-OyxzFEGHIJOyxzA'C'BB'CD'A立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点2、,xy轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,xy轴上（2）找角：,xy轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,xyz轴成右手系，所以在标,xy轴时要注意。4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：-2-①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③菱形的对角线相互垂直④勾股定理逆定理：若222ABACBC，则ABAC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'ACD点，坐标特点如下：x轴：,0,0xy轴：0,,0yz轴：0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为,,0xy，即竖坐标0z，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,HI点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022HI2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果'11,,Axyz在底面的投影为22,,0Axy，那么1212,xxyy（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的'B点，其投影为B，而1,1,0B所以'1,1,Bz，而其到底面的距离为1，故坐标为'1,1,1B以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点①中点坐标公式：111222,,,,,AxyzBxyz，则AB中点121212,,222xxyyzzM，图中的,,,HIEF等中点坐标均可计算②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，IHOCAB-3-FEDACBP进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求'A点的坐标，如果使用向量计算，则设',,Axyz，可直接写出'1,0,0,1,1,0,1,1,1ABB，观察向量''ABAB，而0,1,0AB，''1,1,1ABxyz101110101xxyyzz'1,0,1A二、典型例题：例1：在三棱锥PABC中，PA平面ABC，90BAC，,,DEF分别是棱,,ABBCCD的中点，1,2ABACPA，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标例2：在长方体1111ABCDABCD中，,EF分别是棱1,BCCC上的点，2CFABCE，1::1:2:4ABADAA，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标。例3：如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD∥，1,60ADDCCBABC，CF平面ABCD，且1CF，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。小炼：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z轴），对于,xy轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴。ADBCB1C1A1D1EFDABCF-4-例4：已知四边形ABCD满足1,2ADBCBAADDCBCa∥，E是BC中点，将BAE翻折成1BAE，使得平面1BAE平面AECD，F为1BD中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。例5：如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线,ACBD交于点,4,3,4OOAOBOP，且OP平面ABCD，点M为PC的三等分点（靠近P），建立适当的直角坐标系并求各点坐标小炼：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来ABEDCFAB'EDC