中考复习讲座11(等腰三角形和直角三角形)

等腰三角形和直角三角形•回民中学付灵强等腰三角形和直角三角形知识要点1:(1)掌握等腰三角形的两底角相等;底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质;(2)掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法,能够灵活应用它们进行有关的论证和计算.例1、如图,等腰△ABC两腰上的中线BD、CE交于O点,求证:△BOC和△EOD都是等腰三角形。证明：∵AB=AC,且BD、CE为中线，∴ACBABCCDACABBE且2121为等腰三角形。，已证：可得又为等腰三角形。即又DOEOEODOCOBCEBDCDBBECBOCOCOBCDBBECBCBC≌≌21BACDEO12练习1、(02河北)在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,若BD+CE=9,则线段DE的长为.ABCEFD9练习2、△ABC中,AD既是角平分线又是中线,则△ABC是等腰三角形吗?为什么?BACDE答:是等腰三角形.原因是:延长AD到E,使DE=AD,连结BE.∵BD=DC,∠BDE=∠ADCDE=AD∴△ADC≌△EDB∴BE=AC∠E=∠DAC又∵∠DAC=∠BAE∴∠E=∠BAE∴AB=DE∴AB=AC即△ABC是等腰三角形。例2、AD是△ABC为角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF∥AC交AB于F，求证：AF=FB∵EF∥AC∴∠2=∠AEF，∴∠1=∠AEF∴AF=FE∵BE⊥AE，∴∠BEF+∠FEA=90°∠ABE+∠1=90°∴∠ABE=∠FEB∴BF=EF∴AF=FB21BACAE平分证法一：BCEADF21G证法二:延长BE、AC相交于G，∵AE平分∠BAG∴∠1=∠2∵AE⊥BG∴∠AEB=∠AEG=900∵AE=AE∴△ABE≌△AGE∴BE=EG∵EF∥AC∴F是AB中点，∴AF=FB1ECABDF2例3、(1)如图,已知△ABC和△A/B/C都是等边三角形,B/在BC上,求证:AB/=A/B证明：∵△ABC和△A/B/C/都是等边三角形∴B/C=A/CAC=BC∠ACB/=60°=∠BCA/∴△ACB/≌△BCA/∴AB/=A/B.ACBA/B/(2)如图保持(1)中的△ABC不动,把△A/B/C绕点C按逆时针方向旋转一个角度α,此时,AB/与A/B是否仍然相等?若相等给出证明,若不相等,说明理由.答:仍有AB/=A/B.ACBA/B/α证明:在△ACB/和△BCA/中,B/C=A/C,∠ACB/=60°+α=∠BCA/又AC=BC,所以△ACB/≌△BCA/,故AB/=A/B知识要点2:(1)掌握勾股定理,会用勾股定理进行有关的证明和计算;(2)会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.例4、四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的周长为32.求四边形ABCD的面积.ABCD60°解:连BD,∵AB=AD=8,∠A=60°∴△ABC是等边三角形∴∠ADB=60°,BD=8.∵∠ADC=150°∴∠BDC=90°设CD=χ,则BC=16-χ,在Rt△BCD中,∵BD2+CD2=BC2有82+χ2=(16-χ)2∴χ=624316SSS248621S,316AB43SΔBCDABDABCDΔBCD2ABD四边形例5、已知:正方形ABCD,点E是DC中点,F是BC上一点,BF=3FC,求证:△AEF为直角三角形.证明:设正方形边长为4a,有:是直角三角形。AEFAFEFAEa25)a3()a4(BFABAFa5a)a2(CFECEFa20)a2()a4(DEADAE222222222222222222222DABCEF知识要点3:(1)理解线段的垂直平分线的概念,掌握“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的定理;(2)了解轴对称及轴对称图形;会画对称轴及画与已知图形成轴对称的图形.例6、已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB边的垂直平分线交BC于D,求证:DC=2BDBD2DCDC21BDDC21AD30C90DACADCRt9030120DAC30DAB3012018021CBACAB120BACDABBDADBABDAD0，即，，中，在）（，的垂直平分线上在证明：连结ACDB例7、已知同一平面内直线AB和任意两点M、N,在直线AB上取一点P,使点P到点M、N的距离和最小.解:由于M,N与直线的位置关系没有确定,故可分为以下几种情况:PABMN(2)点M,N只有一个点在直线AB上,则点M就是所求的点P.ABMN.(1)点M,N都在直线AB上,则点P是线段M,N上(包括点M和N)的任意一点.(P)(3)点M,N都在直线AB外,分以下两种情况:①M,N在直线AB两侧；PMABN..连结M、N交AB于P,则点P就是所求的点.②M,N在直线AB同侧：MNPBAM/做点M关于直线AB的对称点M/,连结M/N交直线AB于点P,则PM+PN最小...练习1、小明在距河边4百米的A处放牛,A处位于他家B的西8百米,北7百米,小明晚上要去河边给牛饮水,他给牛饮水再回家的最近距离是()A、19百米B、16百米C、17百米D、18百米CBADEFCA(3,2)B(1,4)yxOCP(-3,2)练习2.如图,在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小.解:作点B关于y轴的对称点C,则则点C的坐标为(-3,2),连结AC交y轴于点P.设过AC的直线的解析式为y=kx+b,于是有:).23,0(.23,0232123,21423的坐标为点时当的解析式为直线解得PyxxyACbkbkbk例8、求证:(1)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。AGEDCBFH已知:点D是等腰三角形ABC的底边BC上的任意一点,DE⊥AB于点E,DH⊥AC于点H,BF⊥AC于点F.求证:BF=DE+DH证明:过点D作DG⊥BF于点G,∵DH⊥ACBF⊥AC∴四边形DHFG是矩形∴DH=GF.又∵DG∥AC∴∠C=∠GDB∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠ABC=∠GDB∵DE⊥AB∴∠DEB=∠BGD∵BD=DB∴△BDE≌△DBG∴BG=DE∴BF=DE+DH(2)填空并证明:等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离。GAEHCBFD之差等于一腰上的高已知:点D是等腰三角形ABC的底边BC延长线上的任意一点,DE⊥AB于点E,DH⊥AC于点H,BF⊥AC于点F.求证:BF=DH-DE简证:过点D作BG⊥DH于点G,先证四边形DHFG是矩形∴DH=GF再证△BDE≌△BDG∴DG=DE∴BF=DE+DH(3)已知矩形ABCD,P是AD上任意一点,PEBD于E,PFAC于F.且AB=3,AD=4,则PE+PF=.HDEPFOBA512