2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

第1页（共19页）2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1．不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0}B．{x|x}C．{x|x或x＜0}D．{x|x＜0或0＜x}2．已知x＞3，则的最小值为（）A．2B．4C．5D．73．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α4．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2C．2D．47．数列{an}满足an=，若a1=，则a2016=（）A．B．C．D．8．△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．第2页（共19页）10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点A在平面α内，点E是底面ABCD的中心．若C1E⊥平面α，则△C1AB在平面α内的射影的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13．在等差数列{an}中，a4=﹣2，且al+a2+…+a10=65，则公差d的值是．14．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．第3页（共19页）15．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）三、解答题本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．18．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足•tanB﹣tanA﹣tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；第4页（共19页）（Ⅱ）若c=2，求a2+b2的取值范围．19．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足bn=an+n，若b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6．（1）求an，bn；（2）求数列{}的前n项和Sn．20．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？21．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（1）求证：PC⊥AE；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．22．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（1）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值；（2）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（3）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．第5页（共19页）第6页（共19页）2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1．不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0}B．{x|x}C．{x|x或x＜0}D．{x|x＜0或0＜x}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的性质将原不等式变为：x（2x﹣1）＜0，再由二次不等式的解法求解．【解答】解：不等式x（1﹣2x）＞0变为：x（2x﹣1）＜0，解得，，则不等式的解集为{x|}故选A．2．已知x＞3，则的最小值为（）A．2B．4C．5D．7【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用基本不等式直接求解表达式的最小值即可．【解答】解：x＞3，则=≥=7．当且仅当x=5时等号成立．故选：D．3．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C4．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）第7页（共19页）A．20πB．25πC．50πD．200π【考点】球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．6．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2C．2D．4【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．7．数列{an}满足an=，若a1=，则a2016=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．第8页（共19页）【分析】由题意依次求出a2、a3、a4、a5的值，归纳出数列{an}的周期，利用周期性求出a2016．【解答】解：由题意得，an=，且a1=，则a2=2×=，依次求得a3=，a4=，a5=，…，所以数列{an}的周期是4，则a2016=a4×504=，故选：D．8．△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【分析】由原图和直观图面积之间的关系=，求出原三角形的面积，再求直观图△A′B′C′的面积即可．【解答】解：正三角形ABC的边长为1，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系=，故直观图△A′B′C′的面积为×=故选D．9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可第9页（共19页）【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）第10页（共19页）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】直线与平面平行的判定．【分析】对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可．【解答】解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选B．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点A在平面α内，点E是底面ABCD的中心．若C1E⊥平面α，则△C1AB在平面α内的射影的面积为（）A．B．C．D．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据射影的定义判断△C1AB在平面α内的射影与△EAB在平面α内的射影相同，求出平面ABCD与平面α相交所成的二面角的余弦值，根据平面图形的射影面积与图形的面积之比等于二面角的余弦值，求得射影的面积．【解答】解：∵若C1E⊥平面α，∴△C1AB在平面α内的射影与△EAB在平面α内的射影相同，∴平面ABCD与平面α相交所成的二面角的余弦值为==，△EAB的面积S=××=，设△C1AB在平面α内的射影的面积为S′，又=，∴S′=．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13．在等差数列{an}中，a4=﹣2，且al+a2+…+a10=65，则公差d的值是．【考点】等差数列的通