数理统计与随机过程整理

Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/412011数理统计&随机过程整理（祝1201班各位同学顺利通过本门考试。。。）数理统计部分第一章1，从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布见下表：kix13626im840102求子样平均数与方差。()()()()()()*1222222*111=18340610262=46011=81440341064226418.6760liiiliiiXmxnSmxxn====×+×+×+×⎡⎤=−=×−+×−+×−+×−=⎣⎦∑∑解：子样平均数：子样方差：123422212342,XN014,,,)Y=()(),XXXXXXXχ−+−设母体具有正态分布（，），从此母体中取一容量为的子样(X又设求常数C,使CY服从分布。1234341212342223412(0,1)(1,2,3,4)(0,2),(0,2)(0,1),(0,1)22)()(2)22212iNiXNXNXXNNXXXXYCχ=−−−−−−−−+==∼∼∼∼∼∼解：X则XXXX且X与X相互独立XX则：(即220.010.013(90).(U=2.33χχ，利用分布的性质近似计算已知）2220.010.01()2(90)90290901802.33121.26.nnnUUααχχχ≈+=+×=+×=解：由分布的性质知当n较大时有：故：}{24X()0,()2()N(0,1)cnnncXcnxχ−≤≈ΦΦ∼，设，试证：当很大时，对有p其中是正态分布的分布函数.Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/4120122222222(),,2(0,1)2{}{}221lim{}()2222{}().2cntnnnnDnXnNnXncnPXcpnnXncncnpedtnnncnPXcnχχχχπ−−−∞→∞==−−−≤=≤−−−≤==Φ−≤≈Φ∫∼∼证：X则E由分布的性质知，当n很大时故：1-12211221212121211-121-122115F(n,).(,)1(,),(,)1{(,)}11{}1{}(,)(,)1{}1(,){F(,)}11F(n,)(,)nFnnFnnFnnFpFnnFPFPFFnnFnnPFFnnPFnnnFnnααααααααααααα=≥==≤=−=−≥=−=∼∼，试证：证：由F分布性质知，若F则由上侧分位数定义知：又故：Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/412013212121112221121122211126X,X,,X,,,(0,),(2)1(0,)(0,1)),nnnmnniiiinmnmiiininniiniinmiinniiiiXXNnmmXmXYnXnXXNnXNnXmmXnXσσσχσ++==++=+=+==+=+=+===∑∑∑∑∑∑∑∑⋯⋯∼∼∼，设是正态母体的容量为的子样求：(1)Y的概率分布。解：（）因为所以而：（且两者相互独立则：Y122112222221122211222211/)=()/(2)(),()(/)/=(,).(/)/niinmnmininnnmiiiinnniiiinmnmiiininXntmXmXXnmmXXnYFnmnXXmσσχχσσσσ=++=+=++==+==++=+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∼∼∼∼（因为且两者相互独立则221211222217,,,)N(0,)Y=10()())2200nniinxnXXXXnnnfxσχ=−−⎧⎪⎪⎛⎞=Γ⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≤⎩∑⋯，设（是分布为的正态母体中的一个子样，求统计量的分布密度.xex（已知：的分布密度x解：()2221niiXnYnχσσ=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∼(){}()22220nyYnYnyFyPYyPfxdxσχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭∫()()2'22YYnynfyFyfχσσ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/412014故()21222202200nnnynnYnyeynfyyσσ−−⎧⎪⎪⎛⎞=⎨Γ⎜⎟⎪⎝⎠⎪≤⎩第二章11,XX(1,2,;01)2005-2006kkpp−⋅=⋯设随机变量服从几何分布，即具有概率分布：P{X=k}=p(1-p)求参数的矩估计量和极大似然估计量。（）()�1211111211112111).()(1)(1)111112).(,,,;)(1)(1)(1)(1)ln()ln()ln(1)ln1()01nniikkxxxxxnxnnniiniiExkpppkpppppXLxxxpppppppppLPnpXnpdLnXndpppp=∞∞−−==−−−−==∧=−=−==⎡⎤−−⎣⎦==−⋅−−∑=−=+−−=−−=−=∑∑∑∑⋯⋯解：则作似然函数取对数得：11.niinXX==∑̂221,(,)2X,2006-20070,(,)(),212=,3,3.xabababbaxababbaEXDXEXXDXSaXSbXS⎧∈⎪−⎨⎪∉⎩+−====−=+̂，设母体的密度函数为：P(x)=与为参数，求参数与的矩估计。（）解：均匀分布的期望与方差为：令解得：Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/412015222212221()()22212221222123,X(,),,11(,,,;,)()2212)()221(niiixnxnninniiiNLxxxeenxxµµσσµσµσµσµσπσπσπσµσµµσ=−−−−==∑==−−−∂=−∂∏∑⋯设正态母体具有分布其中为参数，求参数和的最大似然法估计。(2006-2007)(2009-2010)解：作似然函数：取对数：InL=-In(InInL令��2222211221)0,()022()=X=Snniiinxµσσσµσ==∂==−+−=∂∑∑InL解得：4，为设计制造一批钢索所能承受的平均张力，从其中取样做10次试验。由试验值算得平均张力为6720kg/cm2,标准差s*为220kg/cm2。设张力服从正态分布，求钢索所能承受的平均张力的置信概率为95%的置信区间。（2006-2007）/20.025*/2*/210,195%,0.05,(1)(9)2.2622220(1)67202.26226562.610220+(1)6720+2.26226877.41095%6562.66877.4ntntSXtnnSXtnnααααα=−==−==−−=−×=−=×=解：置信下限：置信上限：故置信概率为的置信区间为：（，）��22225X(N,p),N2007-2008X(N,p)(1),(1)1,.BBpXSpSXpNXXS−==−=−=−∼∼，设母体求参数，p的矩估计量。（）解：则：EX=Np,DX=Np故：NpNp解得：{1,010,6,X()012007-20082xxfxθθθθθ−=其他设母体的分布密度为，其中（）求参数的最大似然估计量；（）（）用矩法求的估计量。Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/412016̂112111110(,,,)(),01,1,2,,lnlnlnlnln0=ln2XX()1X=X,1nnniiiniiniiniiLxxxxxinLnxdLnxdnxExfxdxxdxXEXθθθθθθθθθθθθθ−====+∞−∞∧===+=+=−===+=−∏∑∑∑∫∫⋯⋯解：(1),作似然函数：；取对数：（-1）解得：（）母体的期望：令得1222121121212222111122117,,,N(,)C()2007-2008,,,N(,),,,()()(())2()2(1)1nniiinniiiiiiiiniiiXXXXXXXXXXXEXXDXXEXXDXDXXXCnCµσσµσσσ−+=+++++=−−=−+−=+=−=⋅−=∑∑⋯⋯⋯，设为母体的一个子样，求常数使C为的无偏估计。（）解：为母体的一个子样，则相互独立则：故：E即12211()2(1)niiiXXnσ−+=−−∑时C为的无偏估计。*2*2122212*2*212120.0250.9750.025869S=0.245,S=0.357/95%2007-2008n6,9,S=0.245,S=0.357110.05,(8,5)6.76,(8,5)(5,8)4.nFFFσσα======，两台机床加工同一种零件，分别取个和个零件，测量其长度计算得。假定各台机床零件长度服从正态分布。求两个母体方差比的置信区间（给定置信概率）。（）解：*211/221*22*21/221*220.20782S0.245F(1,1)0.2070.142S0.357S0.245F(1,1)6.764.639S0.35795%0.1424.639nnnnαα−=−−=×=−−=×=置信下限为：置信上限为：故置信概率为的置信区间为（，）Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/412017212121111222119,,,N(,)Y=,,,,Y2008-2009Y()1nniininniiiiiniinniiiiiXXXXEYEXDYDXµσλλλλµµλλµµλλλσ============∑∑∑∑∑∑⋯⋯，设为母体的一个子样，设当满足什么条件时，为的无偏估计量，并求方差。（）解：为的无偏估计量，则则：2222221()2221(In)()222122212221110,X(),(0)22008-200911(,,,;,)()2212)()22niiiInxxnInxnninniifxexLxxxeenInLInxµσµµσσµσµσπσµσπσπσπσµσ=−−−−−−===∑===−−−∏∑⋯设母体的分布密度为其中，为参数，求参数，的最大似然估计量。（）解：作似然函数：取对数：-In(In��22222211122111()0,()022()1=1=()nniiiiniiniinInxInxInxnInxnµµµσσσσµσµ====∂∂=−==−+−=∂∂−∑∑∑∑InLInL令得：2*2*220.0250.975*222/2*221-/211,)10S45(95%2008-200910,S45,0.05,(9)19.023,(9)2.7001)S945958.05(1)19.0231)S9(1)nnnnnααµσσαχχχχ======−×==−−=−从正态母体N(,中抽取一个容量为的子样，计算得小时），求母体方差的置信区间。（给定置信概率）（）解：（置信下限：（置信上限：224567502.70095%958.056750σ×=故的置信概率为的置信区间为（，）21212122222212121212X,XNY=X+X,Y2009-2010YX+X()1(X+X)().......(XX1==2EEDYDDXDXDYµσαβαβµµαβαβµµαβαβαβαβσαβ=+=+===+=+，设为母体（，）的一个子样，当和为何值时，为的无偏估计量且方差最小。（）解：为的无偏估计量，则EY=又与相互独立）易知：当时，最小.Carefulandpatientpasstheexam...Emp.2013/6/4120182213,DlimD=0,E=0,1{||}1lim{||}1,{||}1lim{||}=1nnnDXDPEPEPEPEθθθθθθθθθθεεεθθθεεθθεθθεθθεθθ→∞→∞→∞∀≥−−≥−−≥−≤−⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢⌢设参数的无偏估计量为，其方差依赖于子样容量n，若试证：是的相合估计量。证：是的无偏估计量，则由切比雪夫不等式有P{|X-EX|}故：又即所以是的相合估计量.����12222212221422221122224214,,,,1=(