综合法分析法

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）2.2.1综合法和分析法引例：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DAABCD1342证明连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形所以AB//CD，BC//DA4321，故又AC=CACDAABC所以故AB=CD，BC=DA本题条件已知定义已知定理已知公理本题结论…从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…特点:“由因导果”例1:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明::??分析由A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数列可得什么0260(?)ACBB为什么2bac?怎样把边,角联系起来222:2cosbacacB余弦定理符号语言图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析基本不等式：a+bab2证明:要证a+bab2只需证2a+bab只需证20a+bab只需证()b20a因为成立()b20a所以成立a+bab2(a0,b0)的证明.从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等执果索因即：要证结果Q，只需证条件P13725例求证3725解:要证()()223725只需证展开,只需证215只需证2125因为2125成立,所以成立.3725分析基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,试证：s2a1s=(a+b+c),2解:欲证s2a,只需证2ssb即证bs,也即证1()2babc即证ba+c因为a,b,c为一个三角形的三边,所以ba+c成立.故s2a成立.,,abc例3.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：.90B证明：acb212)(12cabbcab1acbac222acbcaB2222cos因为a,b,c为△ABC三边所以a+cb01cab所以cosB090B因此22222π例3.已知α,β≠kπ+(kZ),且2sinθ+cosθ=2sinαsinθcosθ=sinβ1-tanα1-tanβ求=.1+tanα2(1+tanβ)证:用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:小结1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.