第五章 FIR数字滤波器设计和实现

邹卫霞数字信号处理DigitalSignalProcessing第5章FIR数字滤波器设计和实现No.2主题概述FIR数字滤波器设计和实现5.1)概述5.2)线性相位FIRDF约束条件和频率响应5.3)窗函数法5.4)频率取样法5.5)FIR数字滤波器的优化设计5.6)FIR数字滤波器的实现结构5.7）附录5.8)本章小结No.35.1概述：IIR和FIR比较IIR与FIR性能特性比较IIR数字滤波器：幅频特性较好；但相频特性较差；有稳定性问题；FIR数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多No.45.1概述：IIR和FIR比较IIR与FIR设计方法比较IIRDF：无限冲激响应，H(Z)是z-1的有理分式，借助于模拟滤波器设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIRDF：有限冲激响应，系统函数H(Z)是z-1的多项式，采用直接逼近要求的频率响应设计方法。设计灵活性强缺点：①设计方法复杂；②延迟大；③阶数高。(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元)FIRDF的技术要求：通带频率ωp，阻带频率ωs及昀大衰减αp，昀小衰减αs很重要的一条是保证H(z)具有线性相位。No.55.1概述：FIRDF设计方法FIR数字滤波器设计FIR滤波器的任务：给定要求的频率特性，按一定的昀佳逼近准则，选定h(n)及阶数N。三种设计方法：窗函数加权法频率采样法FIRDF的CAD--切比雪夫等波纹逼近法No.65.1概述：FIRDF零极点FIR滤波器的I/O关系：10Nry(n)h(r)x(nr)0121(),,,,...,hnnNFIR滤波器的系统传递函数：12110011NNNrNrh()zh()z.....h(N)H(z)h(r)zz在Z平面上有N-1个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点，永远稳定。FIR系统定义：一个数字滤波器DF的输出y(n)，如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入x(n),x(n-1),.......,x(n-N+1)，则称之为FIRDF。FIR滤波器的单位冲激响应：No.7FIRDF的频率响应为：FIR滤波器的昀重要特点是能实现线性相位。具有线性相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器中应用最广泛的一种。1j()0()()H()eNjjnnHehne：幅度响应θ(ω)=arg[H(ejw)]为数字滤波器的相位函数。5.1概述：FIRDF频率响应H()No.85.1概述：相位失真信号通过线性滤波器时，其幅度和相位都将发生改变，滤波器增益|H(ω)|和相位θ(ω)都会随频率的变化而改变。如：则：输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化由于不同频率分量的相位延迟n不同，昀终产生了相位失真。确保不产生相位失真的办法：使不同频率的信号通过滤波器时有相同的延迟。()-jnxnen()()()mynhmxnm()()()jnmjnjmhmeeHe000()n--－滤波器在数字频率ω0处的相位延迟（位移）设输入正弦信号Acos(nω0)，则输出为|H(ω0)|Acos(nω0＋θ)，其中相移θ＝θ(ω0)No.9对不同的频率有恒定的相移，会产生相位失真.如：方波y(t)可以用无数正弦波的叠加来得到41111y(t)[sin(t)sin(3t)sin(5t)sin(7t)sin(9t)3579若每个正弦波相移π/2弧度：确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法：随着频率的变化而改变系统相位，使滤波器具有线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使系统的相位函数θ(ω)为频率ω的线性函数来实现。5.1概述：相位失真p41111y(t)=[cos(t)cos(3t)cos(5t)cos(7t)cos(9t)]3579可见相移之后正弦波之和已不再是方波。No.10主题概述FIR数字滤波器设计和实现5.1)概述5.2)线性相位FIRDF约束条件和频率响应5.3)窗函数法5.4)频率取样法5.5)FIR数字滤波器的优化设计5.6)FIR数字滤波器的实现结构5.7）附录5.8)本章小结No.115.2线性相移FIRDF约束条件和频率响应三个内容：约束条件:恒延时滤波偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立奇对称：仅恒群延时成立频率响应TypeI：h(n)偶对称、N为奇数TypeII：h(n)偶对称、N为偶数TypeIII：h(n)奇对称、N为奇数TypeIV：h(n)奇对称、N为偶数FIRDF零极点分布No.12相位延时：()()p群延时：()()gdd5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时滤波恒延时滤波滤波器的延时有相延时和群延时两种恒延时滤波器：τp(ω)或τg(ω)是不随ω变化的常量，这时滤波器具有线性相位特性。10()()()|()|NjjnjjnHehneHee令j()=arg[H(e)]No.13()（负号是因为系统必有时延）由于FIR滤波器的传递函数为:1010()()()[cossin]NjjnnNnHehnehnnjnwθ(w)01010()sin()arg[()]arctan()cosNjnNnhnnHehnn5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时恒相延时和恒群延时同时成立要使τp、τg都不随ω变化,θ(ω)必须是一条过原点直线No.14于是:1010()sinsintan()cos()cosNnNnhnnhnn1100()sincos()cossinNNnnhnnhnn100()in()Nnhnsn{h(1)sinh(N-2)sin(N-2)}h(0)sin()h(N-1)sin-(N0h(n)sin-nh(N-1-n)sin(N-1-1-n))－＋－－5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时h(1)sih(0)sin()h(N-1)sin-(N0-1)n－No.15可以证明，当112()[()](0nN-1)NhnhNn且12()()pgN5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒延时上式成立，此时恒相延时和恒群延时同时成立的线性相位滤波器的必要条件是：不管N为偶数，还是N为奇数，系统冲激响应h(n)都关于中心点(N-1)/2偶对称。当N为奇数时对称中心轴位于整数样点上;当N为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。h(n)为偶对称，N为偶数012N7nh(n)h(n)为偶对称，N为奇数012N6nh(n)No.1602()于是有：1010()sincos()tancot2sin()()cosNnNnhnnhnn1100()()()[cossin]NNjjnnnHehnehnnjn5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒群延时只要求恒群延时成立若只要求群延时τg(ω)为一常数，则相移特性为不过原点的直线。0ωθ(ω)21010()sin()arg[()]arctan2()cosNjnNnhnnHehnn故No.171100()coscos()sinsinNNnnhnnhnn10()cos()0Nnhnn可以证明，当112()[()](0nN-1)NhnhNn且12()gN上式成立，此时故5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒群延时h(1)coh(0)cos()h(N-1)cos-(N0-1)s－No.18FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应h(n)对中心点(N-1)/2成奇对称。此时，无论N为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有π/2的固定相移：因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1)/2个取样点的延迟，还将产生90o的相移，通常这类滤波器又被称为90o移相器，并具有很好的应用价值。N-1()22＝1111222NNNhhNh当N为奇数时，故102Nh012N7h(n)为奇对称，N为偶数nh(n)012N6h(n)为奇对称，N为奇数nh(n)5.2.1线性相移FIRDF约束条件：恒群延时No.1900,()12()(1)NhnhNn恒相延时和恒群延时同时成立奇对称：θ(ω)对所有的频率成分都有一个90°相移。因此，有四种类型的FIRDF：5.2.1线性相移FIRDF约束条件线性相位约束条件对于任意给定的N，当FIR滤波器的h(n)相对其中心点(N-1)/2是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是τ=(N-1)/2。偶对称：θ(ω)为过原点的，斜率为-τ的一条直线0,()2212()(1)NhnhNn仅恒群时延成立INIINIIINIVN类型：h(n)偶对称，为奇数类型：h(n)偶对称，为偶数类型：h(n)奇对称，为奇数类型：h(n)奇对称，为偶数No.205.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeIh(n)偶对称，N为奇数（恒相时延、恒群时延〕此时，由于h(n)序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）：1111121200121()()()()2NNNNjwjwjnwjNnnwjnwnnNHehnehnehneheh(n)为偶对称，N为奇数012N6nh(n)对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到:1111122(1)2001()()(1)2NNNjwjwjnwjNwjnwnnNHehnehNneehe由对称条件1()()hnhNn则H(ejω)表示为：No.215.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeI1112201()212cos2NNjnNehhnNn(1)1112201()()2jnjNNnjjNjneeeNHehnhe令1'2Nnn则上式为1122112()2'1011()2(')cos'22()cos()NNjjNNjjrnnNNHeehhnneanneH11122112201()2NNjjwjnjnNNjneeeNehhneNo.22由此可以看出其线性相位特性。由于cos(nω)对于ω=0、π、2π都是偶对称，所以振幅响应Hr(ω)对ω=0、π、2π也是偶对称。5.2.2线性相移FIRDF频率响应：TypeI其中1()()21()2()2Nanhn